Замкнутые подмножества нормального пространства

[xmaister]

Верно ли что для любого замкнутого подмножества $A$ нормального пространтсва $X$ существует непрерывная функция $f:X\to\mathbb{R}$, такая что $A=\{x\in X|f(x)=0\}$? Лемма Урысона сообщает, что для любых двух замкнутых подмножеств $A,B$ нормального пространства $X$ существует непрерывная функция $f: X\to I$, такая что $f(x)=0,x\in A$, $f(x)=1,x\in B$. Если $X\setminus (A\cup B)$ непрерывно отобразить на $(0,1)$, то склеить эти три отображения всё равно не удаётся. Может это не верно?

[Maslenizza]

Еесли $X$ - это пространство всех функций $f:[0,1]\to\mathbb R$ с топологией поточечной сходимости, а $A$ -- любое одноэлементное подмножество пространства $X$, то не сущестувует непрерывной функции $g:X\to [0,1]$, такой, что $A=g^{-1}(0)$

[xmaister]

Я уже понял, что не всякое нормальное пространство является совершенно нормальным.