Геометрическая прогрессия

[Ktina]

Рассмотрим геометрическую прогрессию

$$\frac{1}{2}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{8}, \ \dots , \ \frac{1}{2^k}, \ \dots$$

При каких натуральных $n$ из этой прогрессии можно выделить геометрическую прогрессию с суммой $\frac{1}{n}$, а при каких - нельзя?

[worm2]

Вроде бы $n=2^m(2^r-1)$.
Легко видеть, что можно, а что нельзя, если понять, что любое действительное число из $(0,1)$ представляется как сумма бесконечной подпоследовательности нашей последовательности единственным образом.

[Ktina]

worm2 в сообщении #574540 писал(а):

...любое действительное число из $(0,1)$ представляется как сумма бесконечной подпоследовательности нашей последовательности единственным образом.

Как Вы представите число $\frac{1}{5}$?

[worm2]

$\frac15=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(2^{1-4k}+2^{-4k}\right)=\frac18+\frac1{16}+\frac1{128}+\frac1{256}+\frac1{2048}+\frac1{4096}+\dots$

-- Вт май 22, 2012 14:11:26 --

5 не представляется в виде $2^m(2^r-1)$, поэтому указанная подпоследовательность для $\frac15$ не является геометрической прогрессией.

[Профессор Снэйп]

А я условие не понял. Что значит "выделить геометрическую прогрессию"? Это значит выделить подпоследовательность, которая является геометрической прогрессией, или что-то другое?

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #574973 писал(а):

А я условие не понял. Что значит "выделить геометрическую прогрессию"? Это значит выделить подпоследовательность, которая является геометрической прогрессией, или что-то другое?

А что может быть другое?

[nnosipov]

А какие геометрические подпрогрессии интересуют --- конечные или бесконечные?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #575107 писал(а):

А какие геометрические подпрогрессии интересуют --- конечные или бесконечные?

Вот в том-то и дело, что и те, и другие. Но с конечными проще. Там общий знаменатель по-любому будет степенью двойки, следовательно $n$ может быть только степенью двойки, для этого достаточно взять прогрессию из одного числа (такой зверь тоже есть).

[Профессор Снэйп]

А в чём тогда, собственно, "олимпиадность" задачи?

$$ \frac{1}{2^l} + \frac{1}{2^{l+k}} + \frac{1}{2^{l+2k}} + \ldots = \, ? $$

Где тут сложность?

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #575160 писал(а):

А в чём тогда, собственно, "олимпиадность" задачи?

$$ \frac{1}{2^l} + \frac{1}{2^{l+k}} + \frac{1}{2^{l+2k}} + \ldots = \, ? $$

Где тут сложность?

(Оффтоп)

Любая задача теряет олимпиадность в глазах субъекта $S$, где $S$ - либо достаточно одарённый человек, либо профессиональный математик.