Построить функцию, вторая производная сущ. только в одной то

[Йог]

Не знаю даже, куда отправить сообщение. Задали задачу - построить элементарную функцию, у которой вторая производная существует только в одной точке... Не могли бы многоуважаемые читатели этого сообщения подсказать недостойному возможные направления решения данного задания? Функция одной переменной на множестве действительных чисел.

[worm2]

Насчёт "элементарной" --- что-то с трудом верится, что такая существует среди элементарных. Наверное, имелось в виду, что как-то надо её построить на основе элементарных функций.

Я бы попробовал ограничить искомую функцию двумя элементарными, f и g, которые совпадают в одной точке (a) вместе с первой и второй производными: f(a) = g(a), f'(a)=g'(a), f''(a) = g''(a), а в остальных точках различны. Затем искомую функцию h определил бы равной f при рациональных x и g при иррациональных.

[Йог]

Интересное предложение, конечно, спасибо, но говорилось именно об элементарной функции... По крайней мере я слышал об элементарной функции. Буду думать дальше.

[PAV]

Вообще-то говоря, если функцию требуется "построить", то она уже не является элементарной, так как все элементарные функции построены до нас.

[Йог]

Ну, вообще-то

Цитата:

Элементарные функции, класс функций, состоящий из многочленов, рациональных функций, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций, а также функций, получающихся из перечисленных выше с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций (образование сложной функции), примененных конечное число раз

А значит элементарных функций бесконечно много и все их до нас построить не могли...

[PAV]

Но с другой стороны, все перечисленные функции имеют "хорошие" производные (кроме там отдельных точек), и при указанных действиях производные тоже не могут сильно испортиться, так что все равно не получится.

[Йог]

Ну... не факт. Буду думать. Если придумаю, то, естественно, поделюсь с многоуважаемым обществом.
Да, никто не знает, каков неопределённый интеграл от arcsin(x^2+1) и есть ли он вообще?

[Brukvalub]

Йог писал(а):

Да, никто не знает, каков неопределённый интеграл от arcsin(x^2+1) и есть ли он вообще?

Эта функция определена только в нуле, а неопределённый интеграл рассматривается и имеет смысл на невырожденных промежутках.

[RIP]

Функция

$$f(x)=\int_0^xtg(t)\,dt,$$

где $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ - непрерывная нигде не дифференцируемая функция, удовлетворяет условию (только не является элементарной).
Как верно заметили, элементарной функции с требуемым условием не существует.

[Gordmit]

Могу также предложить функцию $f(x)=|x|^{\frac32}$, но в смысле определения выше она тоже не является элементарной.

[RIP]

Gordmit писал(а):

Могу также предложить функцию $f(x)=|x|^{\frac32}$, но в смысле определения выше она тоже не является элементарной.

У этой функции вторая производная существует всюду, кроме одной точки. А надо, чтобы существовала только в одной точке.

[bot]

Йог писал(а):

Ну, вообще-то

Цитата:

Элементарные функции, класс функций, состоящий из многочленов, рациональных функций, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций, а также функций, получающихся из перечисленных выше с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций (образование сложной функции), примененных конечное число раз

А значит элементарных функций бесконечно много и все их до нас построить не могли...

Стартовый состав элементарных функций, начиная с которого с помощью конечного применения арифметических действий и суперпзиции получаются все элементарные функции можно подсократить. Достаточно взять следующие
Все постоянные функции, sin, arcsin, exp и ln.
Постоянные функции можно также выбросить из стартового состава, но тогда к числу образующих действий следует добавить умножение на любую константу.
Строить все элементарные функции нет возможности, но нет и необходимости. Этот класс полностью описан данным выше определением. Из него следует, что производная всякой элементарной функции тоже элементарна.
Область определения любой элементарной функции - объединение промежутков (открытых, полуоткрытых, замкнутых). Вы хотите построить элементарную функцию ($g(x)=f'(x)$), производная которой имеет область определения, состоящую из одной точки.

Это, очевидно, невозможно. По индукции доказывается следующее:

Если множество определения элементарной функции содержит интервал, то в некотором подинтервале она дифференцируема. Для доказательства надо просто посмотреть последний шаг образования этой функции - это либо одно из четырёх арифметических действий, либо суперпозиция.