Производная. Школьные задания.

[miflin]

Fanday в сообщении #574183 писал(а):

Вот тут не уловил я, из какого подобия?

Обозначьте стороны прямоугольника $x, y.$
Он отсечет от треугольника два меньших треугольника, подобных между собой.
Запишите для них соотношение подобия, в которое будут входить $x, y$.
Из этого соотношения выразите $y$ и подставьте
в формулу площади $S=xy$. Получите площадь как функцию
переменной $x$. Найдите её максимум (через производную).
Зная $x_{max}$, находите $y$, а затем диагональ.

[Integrall]

(Оффтоп)

miflin в сообщении #574388 писал(а):

Запишите для них соотношение подобия, в которое будут входить .

если бы школьники знали аналитическую геометрию, то соотношение между $x$ и $y$ получалось молниеносно. (уравнение прямой в отрезках)

[Fanday]

Снова спасибо за ответ.
Значит так. Треугольник ABC. Я взял 90 градусов угол C. Прямоугольник HKPC. H - на катете AC. K - на гипотенузе AB. P - на катете CB. AC=24; CB=18.
Я расставил, чтобы было понятно, о чем я говорю. А то запутаюсь.

Цитата:

Обозначьте стороны прямоугольника

Я обозначил:

$HC=KP=x$

$HK=CP=y$

Цитата:

Запишите для них соотношение подобия, в которое будут входить .

Значит треугольники AHK и KPB подобны. Из этого следует:

$\frac{AK}{KB}=\frac{AH}{KP}=\frac{HK}{PB}$

$AH=24-x$

$PB=18-y$

AK и KB через пифагор, не знаю, стоит ли вычислять, но я пока решил не трогать. Подставил в два соотношения:

$\frac{24-x}{x}=\frac{y}{18-y}$

Цитата:

Из этого соотношения выразите $y$ и подставьте
в формулу площади $S=xy$. Получите площадь как функцию
переменной $x$. Найдите её максимум (через производную).

$y=\frac{(24-x)(18-y)}{2}$
Я сосчитал, но ничё страшного в том, что $xy$ взимоуничтожились, нет? Корни не теряются?

У меня вышло, что:

$y=-\frac{3}{4}x+18$

Надеюсь нигде не ошибся? А то настораживает немного ответ.

$S=xy$
$S=x(-\frac{3}{4}x+18)$

Производная у меня получилась:

$S'=-1,5x+18$

Сосчитал, вышла точка максимума, равная 12.

$x_{\max}=12$

Цитата:

Зная $x_{\max}$, находите $y$, а затем диагональ.

Раз максимальный икс вышел, равный 12, то можно сказать, что сторона HK прямоугольника с наибольшей площадью является средней линией треугольника ABC? Ну да ладно, не это важно сейчас.

Значит:
$y=9$

Диагональ вышла, равной 15. Это верно?

Ответ: 15.

Наиогромнейшее спасибо. Есть ведь добрые люди, а :)

[miflin]

Всё верно!

[Fanday]

Цитата:

Всё верно!

Ёмоё. Это ж круто :)
Ещё раз спасибо... Что б без вас делал

[miflin]

Fanday в сообщении #574732 писал(а):

Что б без вас делал

Без меня найдите ещё вторую производную и её значение при найденном Хmax.
Она отрицательна (в нашем случае при любом Х).
Это означает, что найден именно максимум, а не минимум.

[Nacuott]

Fanday, возьмите любой учебник средней школы и почитайте тему о производной, об экстремуме функции и т.д.
Разберитесь - для чего все-таки находить производную при отыскании наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Зачем приравнивать производную нулю....

[Fanday]

Цитата:

Зачем приравнивать производную нулю....

Ну я представляю график производной. Как-раз там, где этот график пересекает ось игрек, находятся критические точки. Именно для того, чтобы найти те самые критически точки, я и приравниваю. Вроде так.
А вообще, кроме математики у меня есть ещё три не мене важных предмета. Поэтому не могу достаточное время уделять каждому из них. Моя цель - ЕГЭ. Но я согласен, разобраться нужно. Спасибо за совет :)