2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 01:02 


22/11/11
380
Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?

Или же уравнение всегда имеет решение, но может не иметь корней.

Допустим мы ищем вещественные корни уравнения $x^2+1=0$

Вещественных корней уравнение не имеет, следует ли из этого, что оно не имеет решений? Или оно имеет решение такое, что корней нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 01:17 
Аватара пользователя


06/08/09
127
Украина
Andrei94
Это уравнение имеет комплексные корни. Или вернее, оно не имеет корней в поле действительных чисел, но имеет корни в поле комплексных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 01:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Надо соблюдать терминологию. Тогда не будет путаницы.

Корни бывают у многочленов, Решения бывают у уравнений. Не наоборот.
Обсуждаемое уравнение имеет комплексные решения, не имеет вещественных.
Многочлен $x^2+1$
имеет комплексные корни, не имеет вещественных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 07:31 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
shwedka в сообщении #573946 писал(а):
Надо соблюдать терминологию.
В школьных учебниках/задачниках фраза "найдите корни уравнения" встречается столь же часто, как и фраза "решите уравнение" (при этом уравнения могут быть самых разных типов). Это уже устоявшаяся терминология, и обычно проблема не в ней, а в правильном понимании смысла этих фраз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 07:58 
Аватара пользователя


22/12/10
264
С терминологией в самой-то математике не всё гладко, а уж в школьных учебниках... Топикстартера, насколько я понимаю, окончательно запутало используемое в учебниках невнятное понятие «решение задачи», которое действительно неясно как связано с решениями уравнений. Например: задача «решить уравнение $x^2+1=0$» имеет ли решение? Ученик в тетради пишет: «перенесём 1 в правую часть, получится $x^2=-1$; но квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет решений». Всё правильно, у уравнения решений нет. Но вот это, то что ученик в тетради написал — что это, если не решение задачи? :D

В некоторых учебниках (правда, только во втузовских, почему-то) я видел в начале определение «Решить уравнение — значит найти все решения уравнения, или доказать, что уравнение не имеет решений». Может быть, в каких-то из школьных учебниках такое тоже присутствует. Такое определение вносит какую-то ясность, но само мне не очень нравится. «Решить — значит доказать, что решения нет» — это уже Кристобалем Хозеевичем попахивает :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 08:36 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Portnov в сообщении #573974 писал(а):
С терминологией в самой-то математике не всё гладко, а уж в школьных учебниках...
Не надо сгущать краски. В данном вопросе школьная терминология вполне адекватна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 11:37 


22/11/11
380
shwedka в сообщении #573946 писал(а):
Надо соблюдать терминологию. Тогда не будет путаницы.

Корни бывают у многочленов, Решения бывают у уравнений. Не наоборот.
Обсуждаемое уравнение имеет комплексные решения, не имеет вещественных.
Многочлен $x^2+1$
имеет комплексные корни, не имеет вещественных.


Т.е. Найти решение -- это более общее понятие, которое в себя включает нахождение корней (когда речь идет о многочленах)? Т.е. По отношению к многочленам -- это одно и тоже, а если рассматривать $\sin x=0$, то тут можно лишь найти решения, а корней тут нет, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 19:22 


19/05/10

3940
Россия
shwedka в сообщении #573946 писал(а):
Надо соблюдать терминологию. Тогда не будет путаницы.

Корни бывают у многочленов, Решения бывают у уравнений. Не наоборот.
Обсуждаемое уравнение имеет комплексные решения, не имеет вещественных.
Многочлен $x^2+1$
имеет комплексные корни, не имеет вещественных.


Ну уж нет.
Корни и решения это одно и тоже для уравнений с одним неизвестным
Для нескольких неизвестных решение корнем редко называется и вообще как то не звучит

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
mihailm в сообщении #574243 писал(а):
Корни и решения это одно и тоже для уравнений с одним неизвестным
Для нескольких неизвестных решение корнем редко называется и вообще как то не звучит

Я и в одномерном случае могу привести пример, когда "не звучит". $\lvert x\rvert+x=0,$ и вариации на тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 19:33 


19/05/10

3940
Россия
вы не поняли, все звучит
$x=-1$ - решение, $x=-1$ - корень

а вот
уравнение $|x-1|+|y-2|=0$
$(1,2)$ - решение (звучит)
$(1,2)$- корень (не звучит)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
mihailm в сообщении #574260 писал(а):
вы не поняли, все звучит
х=-1 - решение, х=-1 - корень

Их там немного больше...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 19:47 
Модератор
Аватара пользователя


30/06/10
980
 !  mihailm, замечание за неиспользование ТеХа при оформлении формул.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение не имеет решений = не имеет корней или нет?
Сообщение21.05.2012, 19:58 


19/05/10

3940
Россия
Munin в сообщении #574278 писал(а):
...
Их там немного больше...


(Оффтоп)

С этим никто и не спорит

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group