Неравенство

[Andrei94]

Как решить неравенство $16^x-12^x-2\cdot 9^x<0$?

Я пробовал переписать вот так, но как дальше?

$4^{2x}-3^x4^x-2\cdot 3^{2x}<0$

[AKM]

Видно, сколь непосильно трудную работу Вы выполнили при переписывании.
Не мудрено, что в знаке ошиблись.
Ладно, ждём подсказок.

[Andrei94]

AKM в сообщении #573905 писал(а):

Видно, сколь непосильно трудную работу Вы выполнили при переписывании.
Не мудрено, что в знаке ошиблись.

Спасибо, исправился

[AKM]

Ой, а я представил себе $4^x$ и $3^x$ как $a$ и $b$, и у меня на множители разложилось!
Но решать до конца всё равно лень.

-- 21 май 2012, 00:05 --

А когда справа нолик --- разложение на множители страшно ценно, это я точно помню!

[Andrei94]

А что с чем сгруппировать?

[spaits]

Andrei94 в сообщении #573903 писал(а):

Как решить неравенство $16^x-12^x-2\cdot 9^x<0$?

Я пробовал переписать вот так, но как дальше?

$4^{2x}-3^x4^x-2\cdot 3^{2x}<0$

Дальше стандартное решение: делим на $(3^x 4^x)$, затем замена $t=\frac{4^x}{3^x}$, получаем квадратное неравенство относительно $t$, при этом надо учесть, что $t>0$.
Другой способ: группировать и разложить на множители: $(4^x-2\cdot3^x)(4^x+3^x)<0$. Группировка очень простая. Обратите внимание, что вторая скобка всегда положительна, при всех $x$. Значит, данное неравенство равносильно какому неравенству? Спрашиваю у топикстартера.

[Andrei94]

spaits в сообщении #573917 писал(а):

Дальше стандартное решение: делим на $(3^x 4^x)$, затем замена $t=\frac{4^x}{3^x}$, получаем квадратное неравенство относительно $t$, при этом надо учесть, что $t>0$.
Другой способ: группировать и разложить на множители: $(4^x-2\cdot3^x)(4^x+3^x)<0$. Группировка очень простая. Обратите внимание, что вторая скобка всегда положительна, при всех $x$. Значит, данное неравенство равносильно какому неравенству? Спрашиваю у топикстартера.

Спасибо

Равносильно такому неравенству $4^x-2\cdot3^x<0$ или $\Big(\frac{4}{3}\Big)^x<2$

$x<\log_{4/3}{2}$

Спасибо, вроде как понятно.

Вообще, я решал систему неравенств.

----------------

$16^x-12^x-2\cdot 9^x<0$

$\log_{1-\frac{x^2}{26}}(x^2-10|x|+26)-\log_{1+\frac{x^2}{26}}(x^2-10|x|+26)\geqslant 0$

-----------------

1) $16^x-12^x-2\cdot 9^x<0$

Уже решено. $x<\log_{4/3}{2}$

2) $\log_{1-\frac{x^2}{26}}(x^2-10|x|+26)-\log_{1+\frac{x^2}{26}}(x^2-10|x|+26)\geqslant 0$

Используя метод рационализации, имеем

$\Big(1-\frac{x^2}{26}-1\Big)\cdot \Big(1+\frac{x^2}{26}-1\Big)\cdot (x^2-10|x|+25)\cdot \Big(1+\frac{x^2}{26}-\Big(1-\frac{x^2}{26}\Big)\Big)\geqslant 0$

Так как $x=0$ не подходит по ОДЗ (а нужно ли писать ОДЗ, если используем рационализацию?)

Значит остается $x^2-10|x|+25\leqslant 0$

А значит

a) При $x>0$

$(x-5)^2\geqslant 5$

=> $x=5$

b) При $x<0$

$(x+5)^2\geqslant 5$

=> $x=-5$

Решение неравенства $x^2-10|x|+25\leqslant 0$ является $x=\pm 5$

3) Пересекая с $x<\log_{4/3}{2}$ и учитывая ОДЗ, имеем $x=-5$

Но как узнать, что $\log_{4/3}{2}<5$?

[spaits]

Перейдите к основанию $2$, получите $\frac{1}{2-\log_2 {3}}<5$, что равносильно $2-\log_2 {3}<\frac15$; а это равносильно $\frac95>\log_{2}{3}$. Последнее доказать уже не трудно: $\log_2 {2^9}>\log_2 {3^5}$.
Кстати, и ответ лучше давать, перейдя к основанию $2$.

[Andrei94]

spaits в сообщении #573937 писал(а):

Перейдите к основанию $2$, получите $\frac{1}{2-\log_2 {3}}<5$, что равносильно $2-\log_2 {3}<\frac15$; а это равносильно $\frac95>\log_{2}{3}$. Последнее доказать уже не трудно: $\log_2 {2^9}>\log_2 {3^5}$.
Кстати, и ответ лучше давать, перейдя к основанию $2$.

Спасибо, понятно! П неужели у меня верно получилось?

[spaits]

Andrei94 в сообщении #573944 писал(а):

неужели у меня верно получилось?

Я не проверяла решение, только ответила на Ваш последний вопрос, как проверить, входит ли решение в ОДЗ.

[Praded]

Andrei94 в сообщении #573926 писал(а):

А значит

Про очепятки в a) и b) не говорю. Проще объединить и записать сразу $\left(|x|-5\right)^2\leq0$ .