Предел обощенной функции

[shtudent]

Пространство $\varepsilon$ - это линейное пространство $C ^{\infty}(\mathbb R)$, снабженное системой полунорм:
$p_{N,n}(f) := \max{\lbrace |f^{(k)}(t)| : k = 0, 1, \cdots , n; t \in [-N, N] \rbrace}$, $n = 0, 1, 2, \cdots; N = 1, 2, \cdots.$

Нужно найти предел последовательности : $f_n(t) = \frac{1}{t + n + i/n}$ в пространстве $\varepsilon$.

Я сделал следующее: так как все $f_n(t)$ локально интерируемые функции, то мы можем найти предел соответствующей регулярной обобщенной функций.
Получаем следующее:
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{t + n + i/n}\varphi(t)dt$
Здесь делаем замену $y = tn$ и получаем:
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{y + n^2 + i}\varphi(\frac{y}{n})dy$

Вопрос: Как осуществить предельный переход под знаком интеграла?

[Integrall]

shtudent в сообщении #573868 писал(а):

Вопрос: Как осуществить предельный переход под знаком интеграла?

достаточностью является равномерная сходимость подинтегрального выражения

[shtudent]

Цитата:

достаточностью является равномерная сходимость подинтегрального выражения

То есть:
$\frac{1}{y + n^2 + i}\varphi(\frac{y}{n}) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ почти всюду. Но этого условия мало, ведь нужно чтобы функция по модулю была ограничена. Так как функция $\varphi$ финитная, то она ограничена некоторой константой, а $\lvert \frac{1}{y + n^2 + i} \rvert = \frac{1}{(y + n^2)^2 + 1} < \frac{1}{y^2}$. Поэтому, $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{y + n^2 + i}\varphi(\frac{y}{n})dy \rightarrow 0 $. Верно ли мое решение, если нет, то где я ошибся?

[hippie]

shtudent в сообщении #573868 писал(а):

Пространство $\varepsilon$ - это линейное пространство $C ^{\infty}(\mathbb R)$, снабженное системой полунорм:
$p_{N,n}(f) := \max{\lbrace |f^{(k)}(t)| : k = 0, 1, \cdots , n; t \in [-N, N] \rbrace}$, $n = 0, 1, 2, \cdots; N = 1, 2, \cdots.$

Нужно найти предел последовательности : $f_n(t) = \frac{1}{t + n + i/n}$ в пространстве $\varepsilon$.

Насколько я понял, вам нужно не
найти предел последовательности : $f_n(t) = \frac{1}{t + n + i/n}$ в пространстве $\varepsilon$ (что бессмысленно, поскольку функции из последовательности не принадлежат этому пространству),
а
найти СЛАБЫЙ предел последовательности : $f_n(t) = \frac{1}{t + n + i/n}$ в пространстве $\varepsilon^*$.

В этом случае, действительно, нужно искать предел $\lim\limits_{n\to \infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac 1{t + n + i/n}\varphi(t)\,dt.$
Преобразуем интеграл:
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac 1{t + n + i/n}\varphi(t)\,dt = \int_{-\infty}^{\infty}\frac 1{(t^2+1)(t + n + i/n)}((t^2+1)\varphi(t))\,dt.$
Последовательность $\frac 1{(t^2+1)(t + n + i/n)}$ равномерно ограничена, а интеграл $\int_{-\infty}^{\infty}|(t^2+1)\varphi(t)|\,dt$ сходится. Следовательно, можно использовать теорему Лебега о мажорантной сходимости.

Integrall в сообщении #573870 писал(а):

shtudent в сообщении #573868 писал(а):

Вопрос: Как осуществить предельный переход под знаком интеграла?

достаточностью является равномерная сходимость подинтегрального выражения

Проверьте это на последовательностях интегралов
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac n{n^2 + t^2}\,dt$
или
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac {n^3}{n^4 + t^2}\,dt.$

[shtudent]

Цитата:

Последовательность $\frac 1{(t^2+1)(t + n + i/n)}$ равномерно ограничена

$\lvert \frac{1}{(t^2 + 1)(t + n + i/n)}\rvert = \frac{1}{(t^2 + 1)((t + n)^2 + 1/n^2)} \leqslant \frac{1}{(t^2 + 1)(t + 1)^2}$
Но в окрестности -1 это выражение стремится к бесконечности. Или я не прав? Если нет, то в чем именно?

[Integrall]

hippie в сообщении #573930 писал(а):

Integrall в сообщении #573870 писал(а):

shtudent в сообщении #573868 писал(а):

Вопрос: Как осуществить предельный переход под знаком интеграла?

достаточностью является равномерная сходимость подинтегрального выражения

Проверьте это на последовательностях интегралов
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac n{n^2 + t^2}\,dt$
или
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac {n^3}{n^4 + t^2}\,dt.$

ваши примеры не корректны. Вы забыли, что под интегралом финитные функции

[hippie]

Ответил не в той задаче .

Всё что я писал относится к пространству, описанному здесь: http://dxdy.ru/topic58714.html.
Перепутал записи из-за очень похожих условий.

[shtudent]

hippie в сообщении #574138 писал(а):

Ответил не в той задаче .

Всё что я писал относится к пространству, описанному здесь: http://dxdy.ru/topic58714.html.
Перепутал записи из-за очень похожих условий.

Следовательно, мое решение корректно? Если нет, то почему?

[g______d]

По-моему, у ТС условие правильное. Функция $f_n(t)=\frac{1}{t+n+i/n}$ принадлежит $\mathcal E$, а не $\mathcal E'$.

Никаких интегралов не нужно. Просто достаточно проверить, что $\max\limits_{-N\le t\le N}|f^{(k)}_n(t)|\to 0$ при $n\to \infty$ при любых фиксированных $k,N$.

[Integrall]

shtudent в сообщении #573925 писал(а):

То есть:
$\frac{1}{y + n^2 + i}\varphi(\frac{y}{n}) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ почти всюду. Но этого условия мало, ведь нужно чтобы функция по модулю была ограничена. Так как функция $\varphi$ финитная, то она ограничена некоторой константой, а $\lvert \frac{1}{y + n^2 + i} \rvert = \frac{1}{(y + n^2)^2 + 1} < \frac{1}{y^2}$. Поэтому, $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{y + n^2 + i}\varphi(\frac{y}{n})dy \rightarrow 0 $. Верно ли мое решение, если нет, то где я ошибся?

то что вы использовали теорему Лебега о предельном переходе пол знаком интеграла - верно, но ошиблись в оценке подинтегральной функции.

[shtudent]

Цитата:

то что вы использовали теорему Лебега о предельном переходе пол знаком интеграла - верно, но ошиблись в оценке подинтегральной функции.

Из-за того что забыл взять корень. А есть еще ошибки?

[Integrall]

shtudent в сообщении #574229 писал(а):

Из-за того что забыл взять корень. А есть еще ошибки?

нет, больше не нашел. Когда вы правильно оцените $f_n(y)$ равномерно по $n$ через интегрируемую функцию, то помните, что можно ограничиться интергрируемостью в смысле главного значения, по Коши.

[shtudent]

Спасибо.

[shtudent]

А чему равен интеграл в смысле главного значения от функций $1/y$ по вещественной прямой?

[Integrall]

shtudent в сообщении #574633 писал(а):

А чему равен интеграл в смысле главного значения от функций $1/y$ по вещественной прямой?

вы сделали слишком грубую оценку и получили особенность в нуле. Чем вам не понравилась более точная оценка $1/\sqrt {y^2 + 1}$?