Спектр оператора

[shtudent]

Решал такую задачу:

shtudent в сообщении #573474 писал(а):

Найти спектр интегрального оператора в $\L^{2}(0, 1)$ с ядром $K(t, s) = \max{\lbrace t, s\rbrace}$.

Нашел собственные значения -- которые являются точечным спектром данного оператора. Можете объяснить, почему? И еще, почему $\lbrace 0 \rbrace$ является непрерыным спектром. То есть можете подробно объяснить свойства спектра интегрального оператора?

[Хорхе]

Оператор вполне себе компактный. Свойства его спектра известны.

[shtudent]

Хорхе в сообщении #573845 писал(а):

Оператор вполне себе компактный. Свойства его спектра известны.

Как раз эти свойства я не могу найти. Можете подробнее написать?

[Хорхе]

А где Вы искали? В учебник смотрели?

[shtudent]

Хорхе в сообщении #573866 писал(а):

А где Вы искали? В учебник смотрели?

Смотрел. Не нашел. Можете просто написать, если не трудно?

[Хорхе]

Спектр компактного оператора - это не более чем счетное количество собственных чисел плюс ноль. Если собственных чисел бесконечное количество, то они сходятся к нулю.

[shtudent]

Спасибо!

[Хорхе]

Пожалуйста. Еще надо выяснить, почему $\{0\}$ -- непрерывный спектр.

[shtudent]

Ну это, навреное, так:
Из того что $\int_{0}^{t} tx(s) ds + \int_{t}^{1} sx(s) ds = 0$ следует, что $x(t) = 0$. Поэтому, $0$ непрерывный спектр, так как у самосопряженного оператора не бывает остаточного спектра.
Верно?
Но, как доказать что оператор самосопряжен?

[Хорхе]

Верно.

Вот если оператор задается матрицей, при каком условии он самосопряжен?

[shtudent]

Если матрица симметрична?

[Хорхе]

Угу.

А если оператор задается интегральным ядром, то при каком условии на ядро он самосопряженный?

[shtudent]

Получается $K(t, s) = K(s, t)$.

[Хорхе]

То есть если ядро симметричное, да.

[shtudent]

Спасибо за помощь.