Дельта-образная последовательность

[calmin]

Здравствуйте !
Помогите, пожалуйста, с задачей :
нужно доказать, что если последовательность обобщённых функций $f_n$, $n=1,...$, локально интегрируемых на действительности оси и для любого отрезка $[a,b]$ удовлетворяющей следующим условиям
1)для любых $a_1,b_1, [a_1,b_1]\subseteq [a,b]$ имеет место неравенство: |$\int\limits_{a_1}^{b_1} f_n(x)dx|<C$ (интеграл от $a_1$ до $b_1$), где константа $C$ не зависит от $a_1,b_1,n$, а зависит только от $[a,b]$
2)$\int\limits_a^b f_n(x)dx\to 1$, если $0\in (a,b)$,
и $\int\limits_a^b f_n(x)dx\to 0$, если $0 \notin [a,b]$, то это дельта-образная последовательность.
В данном задачнике даётся такое определение сходимости обобщённых функций: посл-ть $F_n, n=1,...$ сходится к $F$, если для любой $h\in D \ \langle F_n,h\rangle \to \langle F,h\rangle$
Не знаю, как подступиться к задаче, был бы очень благодарен за небольшую подсказку.

[Integrall]

calmin в сообщении #573736 писал(а):

Не знаю, как подступиться к задаче, был бы очень благодарен за небольшую подсказку.

примените один из критериев слабой сходимости $F_n$ к $F$
можно еще воспользоваться критерием:
Для того, чтобы линейный функционал $f$ на $D$ был обобщённой функцией, необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества $\omega$ существовали числа $K$ и $m$ такие, что

$|<f, h>| \leqslant K|h|_{C^m}$

для всех $h$ с носителем в $\omega$.

Далее $|<f, h>| \leqslant |<f - f_n, h>| + |<f_n, h>|$ и оценить каждое из слагаемых.