Распределение случайной величины

[alexey007]

Привет всем!
Помогите решить задачу, мне нужно найти плотность вероятности и функцию распределения случайной величины равной сумме квадратов двух случайных величин распределенных по одинаковому равномерному закону. Решаю так:
$ z = x_1 ^2+ x_2^2 $
Собираюсь искать плотность вероятности $z$, как свертку $p(z)=\int{p(y)p(z-y)dy}$ Но в начале ищу плотность вероятности квадрата случайной величины из книжки Вилкса на стр.67 взял следующую формулу, для плотности вероятности $x^n$,где $x\in(0,a)$ - имеет плотность вероятности $f(x)=\frac{1}{a}$, то $y=x^2$, где $y\in(0,a^n)$, имеет плотность вероятности $h(y)=\frac{1}{an}y^{\frac{1}{n}-1}$, т.е. в случае квадрата имеем плотность вероятности $h(y)=\frac{1}{2a\sqrt{y}}$
и сразу у меня возникает вопрос, почему значения близкие к нулю имеет большую плотность распределения больше чем $p(y\mapsto0)>>1$, с этого момента не могу сдвинуться никак, помогите)

[gris]

Интуитивно это понятно. При возведении в квадрат, числа меньшие 1 сдвигаются к нулю со сжатием, а большие 1 сдвигаются вправо с растяжением. При этом у нуля плотность в этаком бытовом понимании повышается именно к бесконечности, так как отрезок$[0;x|x<1]$ переходит в отрезок $[0;x^2]$ и его длина уменьшается в $1/x$ раз, а отрезок $[x|1<x<a;a|a>1]$ переходит в отрезок $[x^2;a^2]$ и его длина увеличивается в $x+a$ раз.
Но это просто для ощущений, а так всё видно на графике.
Кстати, неплохо бы уточнить интервалы, на которых равномерно распределены ингридиенты, во избежание лишних нервотрёпок с отрицатеьными левыми концами.

[alexey007]

Спасибо, gris, подумаю))) обе величины $x_1 , x_2$ - имеют равномерное распределение на отрезке$(0,a),a>0$

[gris]

Надеюсь, они независимы.
А не проще будет посчитать по геометрической вероятности? Там, вроде бы окружности вырисовываются...
Хотя там не всё просто в начале. Окружности пересекают квадрат, и надо как-то исхитряться.

[alexey007]

Да конечно независимы, я подумал, наверное все таки для начала сделать все выкладки с распределением величин $x_1,x_2\in(a,b)$, а потом может занулить $a$