Функан

[shtudent]

Помоги, пожалуйста, решить задачу.
Найти предел последовательности: $f_n(t) = \frac{1}{t + n + i/n}$ в пространстве $\varepsilon$.

[Integrall]

что за метрика в пространстве $\varepsilon$?

-- 18.05.2012, 23:49 --

что за метрика в пространстве $\varepsilon$?

[shtudent]

Пространство $\varepsilon$ - это линейное пространство $C ^{\infty}(\mathbb R)$, снабженное системой полунорм:
$p_{n,N}(f) := \sup{\lbrace |t^{n}f^{(k)}(t)| : t \in \mathabb R \rbrace}$, $n = 0, 1, 2, \cdots; N = 1, 2, \cdots.$

[ewert]

shtudent в сообщении #573348 писал(а):

Пространство $\varepsilon$ - это линейное пространство $C ^{\infty}(\mathbb R)$, снабженное системой полунорм:
$p_{n,N}(f) := \sup{\lbrace |t^{n}f^{(k)}(t)| : t \in \mathabb R \rbrace}$, $n = 0, 1, 2, \cdots; N = 1, 2, \cdots.$

Это называется классом Шварца и обозначается обычно $S$, но уж никак не $\varepsilon$. Ваша последовательность функций не может сходиться в этой топологии попросту потому, что эти функции классу Шварца не принадлежат. Переформулируйте условие.

[shtudent]

Цитата:

Это называется классом Шварца и обозначается обычно $S$, но уж никак не $\varepsilon$. Ваша последовательность функций не может сходиться в этой топологии попросту потому, что эти функции классу Шварца не принадлежат. Переформулируйте условие.

$p_{n,N}(f) := \max{\lbrace |t^{n}f^{(k)}(t)| : t \in \mathabb R \rbrace}$, $n = 0, 1, 2, \cdots; N = 1, 2, \cdots.$

[ewert]

Я ж не к форме записи придираюсь (она, кстати, по-прежнему неверна, разве что стала чуть лучше эстетически), а к существу дела: здесь ведь всё равно выписан именно класс Шварца.

[mihailm]

Без всяких классов и метрик (кстати не все сходимости можно задать метрикой) получится ноль.
i только немного мешается - это корень из одного что ли?

[ewert]

mihailm в сообщении #573406 писал(а):

i только немного мешается - это корень из одного что ли?

Нет; это, конечно, мнимая единица и, скорее всего, есть некоторая провокация. Дело в том, что сходимость этих функционалов к нулю тривиальна, если под "основными" функциями понимать финитные. А вот на классе Шварца -- уже не так очевидно, тут уже это надо формально доказывать. Но и тут шварцевость в полном объёме ни к чему -- вполне достаточно того, что пробные функции сами по себе убывают быстрее любой степени.

[shtudent]

mihailm в сообщении #573406 писал(а):

Без всяких классов и метрик (кстати не все сходимости можно задать метрикой) получится ноль.
i только немного мешается - это корень из одного что ли?

Это, наверное, тривиальная задача. Но как можно показать что предел нуль?

[ezhik]

Нужно сделать замену $t = y/n$ и предел нулевой.

[ewert]

ezhik в сообщении #573459 писал(а):

Нужно сделать замену $t = y/n$ и предел нулевой.

Не так быстро. На каких функциях он нулевой?...

-- Сб май 19, 2012 23:51:29 --

shtudent в сообщении #573456 писал(а):

Но как можно показать что предел нуль?

Ну для начала стоит подумать, в каком смысле предел.

[ezhik]

на финитных

[ewert]

ezhik в сообщении #573481 писал(а):

на финитных

Нет. Раз уж класс Шварца ТС задействовал -- придётся его честно отработать.