Две матрицы

[Ktina]

Элементами квадратной матрицы $A$ 2012-го порядка являются вещественные числа.
Возьмём 2012 сумм по строкам - $r_1, r_2, \dots , r_{2012}$ и 2012 сумм по столбцам - $c_1, c_2, \dots , c_{2012}$.
Построим квадратную матрицу $B$ 2012-го порядка следующим образом: элемент $(i, j)$ будет равен наименьшей из сумм $r_i$ и $c_j$.

Какое максимальное значение может принимать сумма всех элементов матрицы $A$, если известно, что элементы матрицы $B$ можно пронумеровать натуральными числами от 1 до $2012^2$ таким образом, что элемент под номером $n$ будет меньше или равен $n$?

[hippie]

Ответ: $8142842662\ (= 2012^3-\frac {2012\cdot 2011}2).

Не уменьшая общности можно считать, что $c_1\ge r_1\ge r_2\ge r_3\ge \dots \ge r_{2012}.$
Тогда $r_k\le 2012^2+1-k,$ и, следовательно, $r_1+r_2+\dots+r_{2012} \le 2012^3-\frac {2012\cdot 2011}2.$
Взяв сумму единичной матрицы и матрицы, в $k$-й строке первого столбца которой стоит число $2012^2-k,$ а все остальные — нули, получим матрицу $A$ с нужной суммой.