Почему потоки коммутирующих полей коммутируют

[Slip]

Доброго времени суток)
пытаюсь разобраться с простым вроде бы вопросом - почему если есть два коммутирующих векторных поля на многообразии, то порожденные ими фазовые потоки коммутируют. Я умею доказывать, что поля коммутируют тогда и только тогда, когда производные по направлениям этих полей коммутируют, и, как следствие, обратное утверждение (что если потоки коммутируют, то поля тоже - расписывая производные по направлению как пределы). Если пытаться провести те же рассуждения в нужную сторону, получится только что для любой точки $\left.\frac{d^2}{dt ds}(f(h^sg^tx_0)-f(g^th^sx_0))\right|_{s=t=0}=0$ для любой гладкой функции $f$ на многообразии и произвольной точки $x_0$. Подскажите, что дальше делать))

[g______d]

Попробуйте рассмотреть кривую $x(t)=g^t h^{\alpha t}g^{-t}h^{-\alpha t} x_0$. Она является решением некоторого обыкновенного дифференциального уравнения. Условие на то, что поля коммутирует, даст какие-то нулевые начальные условия. Дальше теорема единственности. Получим $x(t)\equiv x_0$.

[Oleg Zubelevich]

Slip в сообщении #572407 писал(а):

Доброго времени суток)
пытаюсь разобраться с простым вроде бы вопросом - почему если есть два коммутирующих векторных поля на многообразии, то порожденные ими фазовые потоки коммутируют.

используйте теорему о выпрямлении векторного поля