Корень приведённого многочлена

[Ktina]

Если все коэффициенты приведённого многочлена не превышают по модулю некоторое вещественное число $a$, то этот многочлен не может иметь корень, по модулю превышающий $a+1$. Доказать.

[Dave]

Пусть $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ - данный многочлен, а $y$ - его корень, $z=|y|$. Когда $z \leqslant 1$, то всё очевидно. Иначе

$$z^n=|y^n|=|a_{n-1}y^{n-1}+\dots+a_1y+a_0| \leqslant a|y|^{n-1}+\dots+a|y|+a=a \frac {z^n-1} {z-1} \leqslant a \frac {z^n} {z-1}.$$