Группа Ли алгебры Ли su(2)

[alleut]

Дана система

$$\dot{X}=AX+\sum_{k=1}^m B_k X u_k$$

,
где $X, A, B_k$ - матрицы из $su(2)$, $u_k$ - интегрируемая по Лебегу функция управления.

Теорема (D. D'Alessandro and M. Dahleh, Optimal control of two-level quantum systems, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 46, No. 6, June 2001, pg. 866-876., перевод у Фрадкова в "Управлении...")
Рассмотрим указанную систему, подалгебру $su(2)$ с генераторами ${A,B_1,...B_m}$ и соответствующую ей подгруппу $G_A$.
Существует такой момент времени $\bar{T}>0$, что для множества достижимых состояний $R$ выполняется

$$R(I,T)=G_A, \forall T>\bar{T}$$

В книге Introduction to Quantum Control and Dynamics Далессандро на стр. 81 пишет:
Consider now the Lie algebra generated by the matrices $A$ obtained as above. To each matrix $A$ there corresponds a one parameter subgroup $\{e^{At},t\in\mathbb{R}\}$ and therefore a tangent vector. In fact one can prove if $e^{At}$ and $e^{Bt}$ are in $G$ so are $e^{(A+B)t}$ and $e^{[A,B]t}$

Given a Lie algebra of matrices $L$, the associated one dimensional subgroups generate a Lie group

$$e^L := {e{A_1},e{A_2} \cdot \cdot \cdot e{A_m}; A_1,A_2, ...,A_m\in L}$$

Мне непонятно, как будет выглядеть $G_A$ в случае m=2.
$e^{A}e^{B_1}e^{B_2}$ или $e^{At}e^{B_1t}e^{B_2t}$. Или вообще по-другму

[type2b]

Во-первых, матрицы из алгебры $su(2)$ не могут удовлетворять такому уравнению. Может быть, в правой части не произведение, а коммутатор?

Во-вторых, если есть подалгебра, генерируемая $M_1,\dots M_n$, то соответствующая подгруппа порождается $\prod_i\exp(t_i M_i)$, либо $\exp(\sum_i t_i'M_i)$, либо любой другой комбинацией экспонент с $n$ независимыми параметрами. Разные параметризации отличаются заменой координат.

Обратите внимание, что для того, чтобы разные записи отличались репараметризацией, надо, чтобы векторное пространство, порожденное линейно-независимыми генераторами $M_1,\dots,M_n$, было подалгеброй. Иначе у вас получится не подгруппа, а просто подмножество, причем разное для разных параметризаций.

В случае $SU(2)$ непрерывные подгруппы есть тривиальная, одномерная (все одномерные сопряжены) и сама $SU(2)$. Т.е. если есть набор матриц из $su(2)$, то: если одна линейно независимая матрица, то они порождают соответствующую однопараметрическую подгруппу; если две матрицы линейно независимы, то нужно дополнить их коммутатором, и подгруппа есть просто сама $SU(2)$; если три матрицы линейно независимы, то они опять-таки порождают $SU(2)$.

Вы точно ничего не перепутали?

[alleut]

Цитата:

матрицы из алгебры не могут удовлетворять такому уравнению

$X$ там, скорее всего, лишняя. Матрицы $A$ и $B_k$ точно из алгебры $su(2)$ (Фрадков, Якубовский. Управление молекулярными и квантовыми системами, стр. 250)

Цитата:

Вы точно ничего не перепутали?

Наверное, перепутал. Только сейчас заметил один факт, который делает указанный вопрос не имеющим смысла.

[Kallikanzarid]

type2b в сообщении #572574 писал(а):

братите внимание, что для того, чтобы разные записи отличались репараметризацией, надо, чтобы векторное пространство, порожденное линейно-независимыми генераторами $M_1,\dots,M_n$, было подалгеброй.

Вряд ли в $\mathfrak{su}(2)$ найдется столько линейно независимых векторов, тут скорее всего просто имеется ввиду, что подалгебра ими порождена.

[type2b]

Kallikanzarid в сообщении #574921 писал(а):

Вряд ли в $\mathfrak{su}(2)$ найдется столько линейно независимых векторов, тут скорее всего просто имеется ввиду, что подалгебра ими порождена.

о чем и написано в следующем абзаце