Сколько лет профессору?

[Ktina]

В день рождения профессора студенты спросили, сколько ему исполнилось лет. Ответ профессора был, как всегда, заумным:

ПРОФЕССОР писал(а):

Пусть $n$ и $m$ - два наименьших натуральных делителя моего возраста, отличных от единички, причём $n<m$. Тогда мой возраст равен $n^2+4mn+m^2$

Так сколько же лет профессору?

[gris]

В Ваших дискретных задачах проще вручную в уме посчитать (методом чёса макушки), чем мучится с разными сравнениями по модулям. 52.
Ой. Тут $n>m$.

[temp03]

Ничего не понял:

Ktina в сообщении #571698 писал(а):

Пусть $n$ и $m$ - два наименьших натуральных делителя моего возраста

Ktina в сообщении #571698 писал(а):

Тогда мой возраст равен $n^2+4mn+m^2$

т.е. $n^2+4mn+m^2\div nm$?

[Dave]

Рассматривая разложение возраста на простые множители получаем, что либо $n=p, \, m=p^2$, либо $n=p, \, m=q$, где $p$ и $q$ наименьшие простые делители этого возраста, $p<q$. Второй вариант отпадает, ибо $q \nmid p^2$ и $q \nmid p^2+4pq+q^2$. Значит возраст есть $p^2+4p \cdot p^2+p^4=p^2(p^2+4p+1)$. При нечётном $p$ второй сомножитель чётный, что противоречит выбору $p$. Значит $p=2$ и профессору исполнилось $52$ года.