принцип максимума, теорема единственности

[tavrik]

пусть $f(z)$ аналитична в области $D$ включающей единичный круг {$|z|\leqslant{1}$}
$|f(z)|>1$ для всех $|z|=1$ и $|f(0)|<1$

доказать, что существует $|a|<1$ так что $f(a)=a$

что-то похожее решали на лекции. но там мы доказывали, с помощью принципа максимума, что существует ноль у функции и, по моему, там было условие непрерывности на границе области.

какую теорему здесь использовать? доказывать от противного?

заранее спасибо

[sup]

Достаточно показать, что в некоторой точке $f(z)/z = 1$. Чтобы избавиться от особенности в 0, стоит из единичного круга выбросить малую окрестность нуля - получится кольцо. В некоторой точке кольца $f(z)/z = 0$, а на границе ее модуль больше 1. Вот, собственно, и все. Следующий топик может Вам помочь.
http://dxdy.ru/topic56404.html

[tavrik]

ага...ясно..

sup в сообщении #571600 писал(а):

В некоторой точке кольца $f(z)/z = 0$

это, видимо, та часть которую мы прорешали в классе...