Задачка из книга Садовничий

[myra_panama]

Пусть {$f_n$} - последовательность действительных чисел,причем

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}f_n-f_{n-1}f_{n+2}}{f^2_{n+1}-f_nf_{n+2}}=\alpha+\delta ,$$

($|\alpha|<|\delta|$)

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f^2_{n}-f_{n-1}f_{n+1}}{f^2_{n+1}-f_nf_{n+2}}=\alpha\cdot\delta$$

Доказать ,что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f_n}{f_{n+1}}=\alpha.$

[Профессор Снэйп]

Это типа такая в пределе-фибоначчи-последовательность?

Не уверен, что пройдёт номер, но хочется попробовать: положить $f_{n+2} = f_{n+1} + f_n + \varepsilon_n$ и посмотреть, можно ли про $\varepsilon_n$ какую-нибудь информацию отсюда выжать.

-- Ср май 16, 2012 14:51:43 --

А для начала тупо заменить пределы на равенства и поглядеть, что за последовательность будет.

[TOTAL]

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f^2_{n}-f_{n-1}f_{n+1}}{f^2_{n+1}-f_nf_{n+2}}= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{f_{n+1}}{f_{n+2}} \left(\frac{f_{n+1}f_{n}-f_{n-1}f_{n+2}}{f^2_{n+1}-f_n f_{n+2}}-\frac{f_{n}}{f_{n+1}} \right)= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{f_{n+1}}{f_{n+2}} \left(\alpha + \delta-\frac{f_{n}}{f_{n+1}} \right)= \alpha\cdot\delta$$

Это поможет?

[Профессор Снэйп]

TOTAL в сообщении #571733 писал(а):

Это поможет?

А доказать, что $\lim_{n \to \infty} f_n/f_{n+1}$ существует?

[Dave]

К тому же ещё нужно доказать, что этот предел не равен $\delta$, ибо у уравнения $x(\alpha+\delta-x)=\alpha \cdot \delta$ два корня.

[sergei1961]

Хочется как то теорему Штольца применить,причём несколько раз, чтобы вторые разности получились.

[TOTAL]

Dave в сообщении #572167 писал(а):

К тому же ещё нужно доказать, что этот предел не равен $\delta$, ибо у уравнения $x(\alpha+\delta-x)=\alpha \cdot \delta$ два корня.

Метод простой итерации

$$x_{n+1}=\frac{\alpha \cdot \delta}{\alpha+\delta-x_n}$$

сходится к меньшему по модулю кореню этого уравнения (монотонно при положительном $\alpha \cdot \delta,$ немонотонно при отрицательном). В задаче искомая величина удовлетворяет в пределе именно такому рекуррентному соотношению.