Функционал. Задача Лагранжа. Диффур.

[Saishtade]

Условия таковы:
$J_{{y \left( x \right) ,z \left( x \right) }}=\int _{0}^{1}\!z \left( x \right) {\frac {d}{dx}}y \left( x \right) -y \left( x \right) { \frac {d}{dx}}z \left( x \right) - \left( {\frac {d}{dx}}y \left( x \right) \right) ^{2}{dx} $
При этом
$\\ y \left( 0 \right) =0\\ z \left( 0 \right) =0\\ y \left( 1 \right) =\frac{\pi}{4} \\ z \left( 1 \right) =0\\ y+z={\it \arctg} \left( x \right) $

Найти нужно y и z, которые доставляют экстремум ф-лу J

Процесс решения:
$H=z \left( x \right) {\frac {d}{dx}}y \left( x \right) -y \left( x \right) {\frac {d}{dx}}z \left( x \right) - \left( {\frac {d}{dx}}y \left( x \right) \right) ^{2}+\lambda \left( x \right) \left( y \left( x \right) +z \left( x \right) -{\it \arctg} \left( x \right) \right) \\ $
Обозначения:
$\frac {\partial H}{\partial y}=H_y$
В них H выглядит чуть попроще:
$H=zy'-yz'-y'^2+\lambda (x)(y+z-\arctg(x))$
Далее записывается система уравнений Эйлера:
$\\ \begin{cases} H_y-\frac {d}{dx} H_{y'}=0\\ H_z-\frac {d}{dx} H_{z'}=0\\ \end{cases}\\ H_y=-z'+\lambda \\ H_z=y'+\lambda \\ \frac {d}{dx} H_{y'}=z'-2y''\\ \frac {d}{dx} H_{z'}=-y'\\ \begin{cases} -z'-z'_2y''+\lambda=0\\ y'+y'+\lambda=0\\ \end{cases}\\ \begin{cases} 2(y''-z')+\lambda=0\\ 2y'+\lambda=0\\ \end{cases}\\ $

Вот здесь-то и возникает вопрос, что делать дальше? Если нужно, могу написать свои попытки продолжения решения.