Вложенные окружности

[Dave]

$l$ и $n$ - различные концентрические окружности с центром в точке $O$. Окружность $m$ касается обеих этих окружностей внутренним образом. Точка $A$ находится на окружности $l$, точки $B$ и $C$ - на окружности $m$, а точка $D$ - на окружности $n$, причём точки $B$ и $C$ симметричны относительно точки $O$, а лучи $OA$ и $OD$ симметричны относительно прямой $BC$. Докажите, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности.

[TOTAL]

$r, R$ - радиусы для l и n; $\omega$ - угол OA к BC; $OB=\sqrt{rR}$
Центр для $ABC$ лежит на расстоянии $\frac{R-r}{2\sin(\omega)}$ от $O.$
Центр для $DBC$ тоже лежит на расстоянии $\frac{R-r}{2\sin(\omega)}$ от $O.$

[Dave]

$\frac {OA} {OB}=\frac {OB} {OD}$, значит $\triangle OAB \sim \triangle OBD$, аналогично $\triangle OAC \sim \triangle OCD$, откуда

$$\angle ABD + \angle DCA = \angle ABO + \angle OBD + \angle DCO + \angle OCA =$$

$$=\angle BDO + \angle OAB + \angle CAO + \angle ODC = \angle BDC + \angle CAB$$

и из того, что $\angle ABD + \angle BDC + \angle DCA + \angle CAB = 2\pi$ следует, что $\angle ABD + \angle DCA = \pi$.