Матстат: Как построить равномерно наиболее мощный критерий?

[Donald Capacine]

Здравствуйте, друзья!
Помогите, пожалуйста, решить задачу по теории вероятностей:
"Пусть $X_1, ..., X_n$ - выборка из следующего распределения:
$ \begin {cases} P(X_1=1)=\exp(-\theta / 2) ;\\P(X_1=2)=\exp(-\theta / 2); \\P(X_1=3)=1-\exp(-\theta).\end {cases}$

$\theta > 0.$
Постройте равномерно наиболее мощный критерий уровня значимости $\varepsilon$ для проверки $H_0: \theta > \theta_0$ против альтернативы $H_1$ $\theta < \theta_0$"

Спасибо.

[zhoraster]

Свои мысли какие есть? Что это вообще за зверь такой -- равномерно наиболее мощный критерий, и где он водится?

[--mS--]

Есть предложение к ТС проверить своё условие задачи. То, что написано выше, не может быть набором вероятностей.

[Donald Capacine]

За условие извиняюсь - не там на двойку разделил и сам просмотрел(
Вот так:
$ \begin {cases} P(X_1=1)=\exp(-\theta )/ 2 ;\\P(X_1=2)=\exp(-\theta )/ 2; \\P(X_1=3)=1-\exp(-\theta).\end {cases}$

zhoraster
Вообще равномерно наиболее мощным критерий является критерий ММП (согласно лемме Неймана-Пирсона), но я не знаю, как правильно здесь строить функцию правдоподобия. Спасибо.

[--mS--]

Это легко. Пусть случайная величина $X$ принимает значения $a_i$, $i=1,2,\ldots$ с вероятностями $p_i$, $i=1,2,\ldots$ соответственно. Параметр там где-то сидит, не важно. Функцией правдоподобия будет произведение функций

$$f(X_1) = \begin{cases} p_1, & \textrm { если } X_1=a_1,\cr p_2, & \textrm { если } X_1=a_2,\cr \ldots \end{cases}, \quad f(X_2) = \begin{cases} p_1, & \textrm { если } X_2=a_1,\cr p_2, & \textrm { если } X_2=a_2,\cr \ldots \end{cases}, \ldots, \quad f(X_n) = \begin{cases} p_1, & \textrm { если } X_n=a_1,\cr p_2, & \textrm { если } X_n=a_2,\cr \ldots \end{cases}.$$

То есть сомножитель $p_1$ войдёт в функцию правдоподобия столько раз, сколько будет элементов выборки, равных $a_1$. Сомножитель $p_2$ войдёт в функцию правдоподобия столько раз, сколько будет элементов выборки, равных $a_2$. И так далее. Обозначим эти количества новыми буквами - например, $I_1=\sum_{i=1}^n I(X_i=a_1)$, $I_2=\sum_{i=1}^n I(X_i=a_2)$ и т.д. ($I(A)$ - индикатор события $A$, т.е. 1 или 0 в зависимости от того, случилось $A$ или нет) и запишем функцию правдоподобия

$$f(\theta; \,X_1,\ldots,X_n) = p_1^{I_1} \cdot p_2^{I_2} \cdot \ldots .$$

Не забудьте учесть, что сумма всех количеств $I_1+I_2+\ldots = n$. Так что одно из них можно выразить через остальные.

(Оффтоп)

Вот, помнится, был год когда поголовно мне студенты на контрольной так записывали функцию правдоподобия, вычисляя ОМП для распределения Пуассона. Потом была большая забава - показать, что как ни собираю, всё равно пулемёт получается найденная ОМП $\,\,\frac{1}{n}\,(I_1+2\cdot I_2+3\cdot I_3+\ldots)$ есть в точности $\overline X$