Численное решение ИУ 2-го рода

[Fgolm]

Имеется Интегральное уравнение (ИУ) Фредгольма 2-го рода:

$$ y\left( x \right) = \lambda \int\limits_a^b {K\left( {x,s} \right)y\left( s \right)ds} + f\left( x \right); (1) $$

Допустим существует аналитическое выражение для интеграла

$$ \int {K\left( {x,s} \right)ds}. $$

Для решения ИУ (1) применяется метод сведения ИУ к СЛАУ. Для этого искомую функцию

$$y\left( x \right)$$

аппроксимируем кусочно-ппостоянной

$$y_i $$

(отрезок

$$\left[ {a;b} \right]$$

разбиваем на

$$N$$

элементов). И в итоге получаем СЛАУ:

$$ y_i = \lambda \sum\limits_{i = 1}^N {K_{ij} y_j } + f_i . (2) $$

Здесь все более или менее понятно.
А как будет выглядеть этот метод решения ИУ (1) при попытке использовать для функции

$$y\left( x \right)$$

кусочно-линейную аппроксимацию?

[Fgolm]

В этом вопросе смущает следующее.
Перепишем уравнение (1) в операторной форме:
$y = \lambda Ky + f$
здесь $K$ - интегральный оператор.
При решении ИУ определяющую роль играют свойства именно интегрального оператора. От этих свойств зависит сходимость или несходимость последовательности приближений к истинному решению ИУ, скорость этой сходимости, обусловленность матрицы СЛАУ, получаемой из ИУ и т.п.
Допустим оператор $K$ такой, что соответствующее ИУ может быть решено методом последовательных приближений. Если, в таком случае, используется кусочно-постоянная аппроксимация искомой функции, то интегральный оператор на каждом участке становится оператором умножения ($y_i $ попросту выносится из-под знака интеграла). И, следовательно, его важнейшие свойства и особенности при переходе к конечно-мерному аналогу (матрице СЛАУ) сохраняются.
Но, как только мы используем более сложную аппроксимацию, и кусочная функция $y_i = y\left( {x_i } \right)$, стало быть, зависит от ${x_i }$, то ее уже нельзя вынести из-под знака интеграла.
Поэтому матрица коэффициентов получаемой СЛАУ уже не будет обладать свойствами исходного оператора.

[Fgolm]

Может быть возможно подобрать такое преобразование, которое неизвестной кусочно-линейной функции ставило бы в соответствие образ, действие интегрального оператора на который не изменяло бы его свойств (каким либо образом).