Распределение Больцмана.

[Rage8253]

Помогите разобраться в задаче, вроде алгоритм решения понятен но сделать ничего не получается.
Нужно найти момент инерции газа в цилиндрическом сосуде, данные все есть (масса молекулы, масса газа, скорость вращения, температура, размеры). Тяжестью, походу, можно пренебречь (про неё не сказано ничего)
Ну момент инерции по определению искать нужно, для этого нужна явная зависимость плотности от радиуса, которую нужно достать из распределения Больцмана. Из распределения можно достать только зависимость плотности от радиуса, но с использованием плотности на нулевом радиусе
$P=P_0 e^{(-m(w^2)(r^2)/kT)}$
Из распределения необходимо получить зависимость плотности от радиуса в прямом виде. Что с ней нужно сделать? Записать в виде функции распределения, заменив плотность на нуле на нормировочный множитель и искать его (если да, то нужно ли умножать на элемент объема, как это делали в распределении Масквелла по модулю скорости?) ?
P.S. Желательно, чтобы все интегралы брались

[tellolorn]

А функциональная зависимость, которую вы написали- это не "в прямом виде"?

[Rage8253]

Да, но я не могу никак выразить плотность "на нуле". Нужно изменить эту зависимость так, чтобы оттуда ушло $P_0$

[tellolorn]

А газ идеальный? Просто тогда можно написать уравнение Менделеева-Клапейрона и найти среднюю плотность в объёме цилиндра. А потом написать определение средней плотности через распределение и найти плотность "на нуле".

[Rage8253]

Да, газ идеальный.
Среднее значение можно выписать, зная функцию распределения. Для Больцмана - то что в первом посте - это не функция распределения, это уже зависимость. Как можно сделать функцию распределения?
(Написать интеграл с нормировочным множителем, проинтегрировать, приравняв к 1 найти нормировку...? Нужно ли умножать на элементарный объем $2\pi r$( без этого умножения я не могу взять интеграл, а matcad выдает неизвестные мне выражения )
P.s. И ещё нету давления, если его никак выразить не получится, то не пройдет ....

[tellolorn]

Элементарный объём, если мы интегрируем по радиусу, будет высота цилиндра, умноженная на $2\pi r$ и на бесконечно малое приращение радиуса(дифференциал).

[Rage8253]

И скажите ещё, как получить зависимость, если есть функция распределения?
Вернее как с помощью функции распределения получить плотность на нулевом радиусе. Просто ноль поставить не подходит, беск. малый объем брать тоже не пойдет.

[tellolorn]

Я думаю, так как известна масса газа, то нужно проинтегрировать плотность, умноженную на элементарный объём по радиусу и приравнять к массе.Так вы и найдёте плотность на нуле

[Rage8253]

Плотность на нуле не узнать (ибо что такое ноль? Кусочек пространства - насколько большим его брать? А в нуле нет молекул - это точка.) Принцип решения изменился, не актуальный вопрос, как-нибудь додумаю, может что получится
Походу нужно искать саму функцию распределения плотности от расстояния, затем её подставлять в интеграл.

[tellolorn]

Я предложил проинтегрировать функцию, в которой присутствует ваша искомая "плотность на нуле" как константа, и приравнять полученный результат к тому, что дано в условии за массу газа. При интегрировании эта константа никуда не пропадёт и вы её сможете легко выразить. Не надо подставлять никуда никаких нулей

[Munin]

Rage8253 в сообщении #570246 писал(а):

Нужно найти момент инерции газа в цилиндрическом сосуде

А что это такое? Газ - не твёрдое тело, и не вращается как целое.

[tellolorn]

Момент инерции аддитивная величина. Наверное, надо понимать это как сумму моментов инерции отдельных "твёрдых" частей.