Построить многомерную плоскость

[Dospad]

Плоскость $p_1$ определяется точкой $A(0,0,2,4)$ и векторами $a_1=(1,1,1,4)$, $a_2=(1,2,1,0)$.
Плоскость $p_2$ задана системой $5x_1-4x_2+x_3=0; 5x_1-2x_2-x_4=0$
Написать уравнение плоскости минимальной размерности, проходящей через плоскости $p_1$ и $p_2$.

Т е по сути надо составиь плоскость, содержащую эти.
Для начала я нашел базис второй системы. $b_1=(0,1,4,-2); b_2=(4,5,0,10)$. Теперь нужна точка на второй плоскости. Система однородная, поэтому в качестве точки можно взять один из векторов, например $b_2$. Т.е $B=(4,5,0,10)$. Теперь остается составить вектор $AB=(4,5,-2,6)$.
Получается 5 векторов определяющих плоскость ($a_1,a_2,b_1,b_2,AB$).
Найдем ранг системы, обнаружим что он равен 4. А вектор $b_1$ лз с чем-то. Тогда плоскость определяется уже векторами $a_1,a_2,b_2,AB$. Вот тут уже и проблема. Вектором получилось слишком много.
Теперь по идее надо найти точку системы направляющего подпространства из этих векторов. Но решения системы нет. Только нули.

На этом и застопорился. Вообще, странно что $p_2$ задана однородной системой. В примерах до этого, система была неоднородная и точка не совпадала с базисом. Плюс к тому же, количество векторов в направляющем подпространстве много. Должно быть множество решений. Что-то тут я не так делаю. Если бы надо было составить плоскости через 2 прямые - то все понятно, плоскость содержащую прямую и плоскость тоже, а тут никак не получается. В идеале одна плоскость должна была бы оказаться прямой, но не получается так.
Помогите разобраться. Заранее благодарен.

[devgen]

Мне кажется, что вы не верно поняли задание.
Я бы взял направляющий вектор и точку в одной из плоскостей и точку в другой. Вот и плоскость, которая пересекает обе данные.

[Dospad]

Возможно. Тогда такая идея. Взять от первой плоскости 2 вектора. А для второй найти одну точку просто. Вот и будет направляющее подпространство (а1, а2, AB). Но кажется все равно не до конца понимаю условия.

[INGELRII]

devgen
Что за "пересекает"? В задании ясно сказано: (гипер)плоскость минимальной размерности, проходящей через две указанные. Это можно переформулировать в более понятной форме: нужно указать гиперплоскость $P$ минимальной размерности, такую что плоскости $p_1, p_2$ лежат в ней.

В общем виде задача выглядит вообще просто. Пусть у нас есть две несовпадающие гиперплоскости $p_1, p_2$ размерности $n$ каждая, находящиеся в пространстве размерности $m$, причем $m>>n$. Тогда в общем случае искомая гиперплоскость $P$ существует, и ее размерность равна $2 n+1$. Однако возможно, что окажется, что базисы не являются линейно независимыми. Тогда размерность $P$ будет равна размерности уже этой совокупности базисов.

Теперь возвращаемся к нашей конкретной задаче. У нас $n=2$, $2n+1=5$, то есть в общем случае через любые две двумерные плоскости всегда проходит пятимерная гиперплоскость, которую можно построить. Однако тут у нас $m=4<5$, то есть пространство, в котором помещены плоскости, всего лишь 4-мерное, и 5-мерную гиперплоскость там, конечно, никак не разместить. С другой стороны, вы уже провели все необходимые действия и установили, что ранг системы 4. То есть гиперплоскость, удовлетворяющая условиям, должна иметь размерность 4. Но и само пространство имеет ровно столько же измерений!

Вот и выходит, что ответом на ваш вопрос является само же пространство. Оно содержит обе плоскости $p_1, p_2$. Гиперплоскость меньшей размерности не походит. Вот и всё.

[Dospad]

INGELRII
Спасибо. Теперь стало понятно. Т е можно сказать, ответ $R^4$?

[INGELRII]

Выходит, так.