Построение пропорционального отрезка

[BENEDIKT]

Даны отрезки a, b, c, d, e. Построить отрезок $x=\frac{abc}{de}}$.

Построим неразвёрнутый угол с вершиной $O$. Отложим на одной из его сторон отрезки $OA=a$, $OB=b$, $OC=c$, а на другой - $OD=d$, $OE=e$. Проведём через эти отрезки прямые. В связи с этим, первый вопрос: как доказать, что эти прямые параллельны? Ведь о пропорциональности отрезков, дающей возможность применить соответствующую теорему, ничего не сказано.
Через точку $C$ проведём прямую $CF$, параллельную $AD$ и $BE$. Отрезок $OF$ равен $f $- это и есть искомый отрезок $x$. По теореме точки $D$, $E$, $F$ и $A$, $B$, $C$ делят стороны угла на пропорциональные отрезки. Справедливо ли будет в этом случае равенство $abc=def$? Ведь именно из него можно выразить $f$, превратив в требуемое выражение $f=\frac{abc}{de}}$.

[Алексей К.]

BENEDIKT в сообщении #569650 писал(а):

Проведём через эти отрезки прямые.

А как проводят прямые "через отрезки"?

[BENEDIKT]

Прошу прощения. Разумеется, не через отрезки, а через точки, делящие стороны угла на указанные отрезки, т. е. через точки $A$ и $D$, $B$ и $ E$, $C$ и $F$.

[Алексей К.]

BENEDIKT в сообщении #569716 писал(а):

В связи с этим, первый вопрос: как доказать, что эти прямые параллельны?

Что значит "как доказать"? У меня $a=b=d=1$, $e=99$, прямые $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $A=B$. Как мне "доказать", что они параллельны?

[Профессор Снэйп]

BENEDIKT в сообщении #569650 писал(а):

Даны отрезки a, b, c, d, e. Построить отрезок $x=\frac{abc}{de}$.

Построить $ab/d$, затем положить $a' = ab/d$, $b' = c$, $d' = e$ и повторить построение.

[BENEDIKT]

Алексей К. в сообщении #569728 писал(а):

Что значит "как доказать"? У меня $a=b=d=1$, $e=99$, прямые $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $A=B$. Как мне "доказать", что они параллельны?

Дело в том, что рассматриваемое задание связано с темой "Построение пропорционального отрезка" и Теоремой о пропорциональных отрезках. Отрезки, насколько я понимаю, должны быть пропорциональны, что может быть обусловлено параллельностью прямых, делящих стороны угла на эти отрезки (по теореме).

Профессор Снэйп в сообщении #569733 писал(а):

Построить $ab/d$, затем положить $a' = ab/d$, $b' = c$, $d' = e$ и повторить построение.

Благодарю. Но можно ли как-то "увязать" решение с теоремой о пропорциональных отрезках? И корректно ли именовать равенство $abc=def$ пропорциональностью?

[Алексей К.]

BENEDIKT в сообщении #569909 писал(а):

Дело в том, что рассматриваемое задание связано с темой "Построение пропорционального отрезка"

Это не оправдывает Вашу попытку доказать недоказуемое, в частности, параллельность пересекающихся прямых. Увидев на паре придуманных примеров, что ТЕ прямые совсем не обязательно параллельны, Вы должны отказаться от своей конструкции и чесать репку дальше.

Решите более простую задачку для трёх данных и одного неизвестного отрезков. Решите с помощью той теоремы. Примените приём дважды, как Вам уже указали:

$$x=\frac{abc}{de}=\frac{\left(\frac{ab}{d}\right)c}{e}\,.$$

Постройте сначала отрезок в скобках, $w=\dfrac{ab}{d}$, потом $x=\dfrac{wc}{e}$. А я пока погуглю --- что же это за теорема такая?

[BENEDIKT]

Алексей К. в сообщении #569949 писал(а):

Это не оправдывает Вашу попытку доказать недоказуемое, в частности, параллельность пересекающихся прямых

Но ведь о пересечении прямых речь не шла...

[BENEDIKT]

Само по себе задание является аналогичным заданию, представленному в учебном пособии в качестве примера:

Даны отрезки $a, b, c$. Построить отрезок $ x = \frac{bc}{a}}$

Решение.
Построим любой неразвернутый угол с вершиной $O$. На одной стороне угла отложим отрезки $OA = a$, $OB = b$, а на другой – отрезок $OC = c$. Соединим точки $A$ и $C$, а через точку $B$ проведем прямую $BD$, параллельную $AC$. Отрезок $OD$ есть искомый отрезок x. По теореме о пропорциональных отрезках, $\frac{OA}{OB}}=\frac{OC}{OD}}$. Следовательно, $OD=\frac{OB OC}{OA}}= \frac{bc}{a}}$.

Но решить это задание проще: имеется всего одна прямая $AC$, а через точку $B$ можно "спокойно" провести параллельную ей прямую $BD$. В моём случае, для применения теоремы необходимо построить прямую $CF$, параллельную прямым $AD$ и $BE$. Но как доказать параллельность этих двух прямых? Ведь в противном случае я не могу построить прямую, параллельную им обеим.

[ИСН]

У Вас лошадь впереди паровоза. Чтобы доказать параллельность, они должны быть параллельны. Так ли это? Попробуйте нарисовать пример. Числа возьмите с потолка. Например, можно те, которые использовал Алексей К.

[BENEDIKT]

Ok. Но как же мне использовать теорему о пропорциональных отрезках?

[ИСН]

Как написал Профессор Снэйп. Чего из его предложений Вы не понимаете? Как построить отрезок $ab/d$? Или что-то другое?

[BENEDIKT]

Честно говоря, не ясно, зачем строить отрезки $a' = ab/d$, $b' = c$, $d' = e$.

[Профессор Снэйп]

Я тоже не понимаю, зачем строить $b'$ и $d'$, раз они уже даны.

[Алексей К.]

BENEDIKT в сообщении #570233 писал(а):

Честно говоря, не ясно, зачем строить отрезки $a' = ab/d$, ....

Отрезок $a'$ (в моих обозначениях --- $w$) имеет смысл строить затем, что, оказывается, имея этот отрезок можно построить отрезок $x$. Иными словами --- можно решить обсуждаемую задачу. О чём уже неоднократно говорилось.

-- 13 май 2012, 14:31:04 --

В конце концов, просто поверьте нам и постройте его. Возможно, понимание придёт потом.