Почти теорема синусов

[Ktina]

Учительница вызвала Вовочку к доске и спросила, знает ли он теорему синусов.
Вовочка, как всегда всё перепутав, ответил:

Длина любой стороны треугольника всегда не меньше суммы длин двух других сторон, умноженной на синус половины противолежащего этой стороне угла.

Верна ли теорема Вовочки?

[TOTAL]

Ktina в сообщении #569615 писал(а):

Длина любой стороны треугольника всегда не меньше суммы длин двух других сторон, умноженной на синус половины противолежащего этой стороне угла.

Две другие стороны одинаковые (при сохранении угла между ними их сумма только увеличится). Поэтому теорема верна.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #569626 писал(а):

Ktina в сообщении #569615 писал(а):

Длина любой стороны треугольника всегда не меньше суммы длин двух других сторон, умноженной на синус половины противолежащего этой стороне угла.

Две другие стороны одинаковые (при сохранении угла между ними их сумма только увеличится). Поэтому теорема верна.

Можно опустить перпендикуляры на биссектрису противолежащего угла. Так как кратчайшим расстоянием является перпендикуляр, данная сторона будет не меньше суммы этих перпендикуляров. А сумма перпендикуляров как раз и равна сумме двух других сторон, умноженной на синус половины противолежащего угла.

-- 11.05.2012, 10:49 --

Кстати, равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный (основанием служит данная сторона).

-- 11.05.2012, 11:33 --

Забыла указать, откуда именно опускать перпендикуляры.
Пусть мы хотим доказать утверждение для стороны $AB$. Тогда нужно опустить перпендикуляры из $A$ и $B$ на биссектрису угла $C$.