Квадрат из круга?

[Ktina]

У нас есть бумажный круг и ножницы, позволяющие делать прямые разрезы и разрезы в виде дуг окружностей.
Можно ли перекроить этот круг в квадрат той же площади, выполнив конечное число разрезов?

[Sender]

Хм, могу привести идею, но со строгим доказательством придётся повозиться.

Пусть $R$ - радиус исходного круга. Возьмём какое-нибудь разбиение этого круга, отвечающее условиям задачи, на некоторое количество фигур. Границы этих фигур будут представлять собой объединение отрезков и дуг окружностей. Назовём связный участок границы фигуры, представляющий собой дугу окружности, выпуклым, если у каждой её точки найдётся окрестность, пересечение которой с этой фигурой выпукло, и вогнутым в противном случае. Границы квадрата представляют собой отрезки, значит, общая длина выпуклых и вогнутых участков границ каждого радиуса, в том числе и $R$, должна быть одинакова. Но общая длина выпуклых участков радиуса $R$ при любом разбиении будет на $2 \pi R$ больше, чем вогнутых. Значит, никакое разбиение не отвечает условиям задачи.

[worm2]

Sender опередил, но попробую чуть продвинуться в сторону строгости.

Наши бумажные фигуры имеют границу, состоящую из участков постоянной кривизны.
Будем считать эту кривизну со знаком "плюс", если фигура локально выпукла в окрестности этого участка (надо ли пояснять этот момент?) и со знаком "минус", если локально вогнута.

Общей кривизной фигуры будем называть сумму взвешенных кривизн её участков, взятых с весом, равным длине соответствующего участка.

Суммарная общая кривизна всех фигур — инвариант, не меняющийся как при разрезании, так и при складывании. Однако вначале она положительна (равна $2\pi$, кстати), а в конце мы хотим получить нуль.

[Ktina]

Красивая задача, не правда ли?
Видела её в трёх местах:

здесь (стр. 48, задача 10.20),

здесь (задача 2)

и здесь.

[Ktina]

Эта олимпиадная задача - вырожденный частный случай более сложной задачи, квадратуры круга Тарского.