Показать что полиномы Лежандра образуют ортогон. систему.

[KennyPanders]

Здравствуйте, друзья.
Нужно решить вот такую задачу по уравнениям мат физики. Скажите где можно найти информацию по этому вопросу или помогите разобраться в этом.

Показать что полиномы Лежандра

$$P_m(t)=\frac{1}{2^m \cdot m!} \cdot \frac{d^m}{dt^m} (t^2-1)^m$$

$m=1, 2, ...$ образуют на [-1; 1] ортогональную систему т.е.

$$ \int \limits_{-1}^{1} P_m(t)P_n(t)dt = \left\ \begin{array}{rcl} 0 & & m\ne n, \\ \frac{2}{2m+1} & & m=n \\ \end{array} \right. $$

Всем мир!

[ewert]

Вообще-то многочлены Лежандра ортогональны по определению, так что если что и доказывать, то, наоборот, формул Родрига. Если же всё-таки исходить из этой формулы, то просто проинтегрируйте несколько раз по частям. Если $m>n$, то при перeкидывании производных с $P_m$ на $P_n$ под интегралом в конце концов окажется тождественный ноль. А если $m=n$, то останется некоторая константа, умноженная на интеграл $\int\limits_{-1}^1(1-t^2)^mdt$, сводящийся к бета-функции.