При каких n система имеет решения?

[Ktina]

При каких натуральных $1\le n\le 10$ система

$$ \begin{cases} x+y+z=n \\ x^3+y^3+z^3=n \end{cases} $$

имеет решение в целых числах, а при каких - не имеет?

[hippie]

Ответ: при 1, 2, 3, 8.

1: (0; 0; 1);
2: (0; 1; 1);
3: (1; 1; 1);
8: (–16; 9; 15).

При $n=4$ и $n=5$ второе уравнение системы не имеет решений (по модулю 9).
При $n=6,\ n=7,\ n=9,\ n=10$ доказательство основывается на равенстве $(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x).$ Исходная задача, таким образом, сводится к исследованию разрешимости в целых числах уравнения $ab(2n-a-b) = \frac {n^3-n}3.$