Trangle and circle

[ins-]

Let $ABC$ $(AC>BC)$ is a right-angled triangle. A circle $k$, passing through $B$, with center lying on the hypothenuse $AB$, tangent to the cathetus $AC$ at the point $T$, intersects the cathetus $BC$ at the point $P$. $AP$ intersects $k$ at the point $Q$. $M$ is the intersection point of the line $BQ$ and $AC$. Prove that $M$ is the middle of the segment $AT$.

[Dave]

Пусть $D$ - точка пересечения окружности $k$ с гипотенузой $AB$. Угол $BPD$, как опирающийся на диаметр $BD$ - прямой. Значит $PD \parallel CA$. Пусть $l$ - прямая, симметричная $BA$ относительно $CA$. И пусть прямая $PT$ пересекает $l$ в точке $E$, а прямая $PD$ - в точке $F$. $\angle ADF=\angle DAC=\angle EAC=\angle AFD$. Значит $DA=FA$.
Т.к. точки $P$ и $D$ симметричны относительно радиуса $k$, проведённого в точку $T$, то $\angle DTA=\angle PTC=\angle ETA$ и, т.к. $\angle DAT=\angle EAT$, то $\triangle DTA=\triangle ETA$, откуда $EA=DA=FA$.
$\angle TBA=\angle TBD=\angle TPD=\angle EPF$, кроме этого, $\angle PFE=\angle TAE=\angle BAT$. Значит $\triangle EPF \sim \triangle TBA$. Как мы уже доказали, $PA$ - медиана в $\triangle EPF$. Но $\angle EPA=\angle TPQ=\angle TBQ=\angle TBM$. Значит, в силу подобия, $BM$ - медиана в $\triangle TBA$, что и требовалось доказать.

[ins-]

Thank you for the elegant and beautiful solution. Another fact I observed is the circle with diameter CT is tangent to AP.

[ins-]

ins- в сообщении #568984 писал(а):

Another fact I observed is the circle with diameter CT is tangent to AP.

It is wrong.