Перестановочность интеграла и функционала

[Nimza]

Пусть $K(x,y) \in C^{\infty}(\Omega \times \Omega)$, где $\Omega$ --- область в $\mathbb{R}^{n}$, $\mu$ --- вероятностная мера на $\Omega$. Пусть $L \in (C^{\infty}(\Omega))^{*}$. При каких условиях верно

$$ L \int\limits_{\Omega} K(\cdot, y) \mu(dy) = \int \limits_{\Omega} LK(\cdot,y) \mu(dy) $$

для всех $L$? Может быть, это верно всегда? Если $L$ представим мерой, то равенство выполняется по теореме Фубини.

[Nimza]

Если $\Omega$ область, то это верно всегда по теореме о тензорном произведении распределений. А вот что делать, если $\Omega = \mathbb{R}^{n}_{+}$?

[g______d]

Формально говоря, области определения левой и правой части не совпадают. Например, для $L=0$: при некоторых $K$ интеграл в левой части может расходиться.

[Хорхе]

А если слева и справа все хорошо определено, то в чем проблема? Приближаем чем-то простым и без особых проблем переставляем. То есть это по идее даже для замкнутого функционала верно, не только для непрерывного.

[Nimza]

Ага, спасибо. Всё получилось.