cl conv (компакт) = компакт

[Nimza]

Будет ли замыкание выпуклой оболочки компакта компактом в пространстве $C^{\infty}(\Omega)$ со стандартной топологией, порождаемой полунормами? Здесь $\Omega$ --- некоторое открытое множество в $\mathbb{R}^n$.

[g______d]

Думаю, да. Оно ведь метризуемо? Тогда, видимо, надо доказать предкомпактность выпуклой оболочки, т. е. построить конечную $\varepsilon$-сеть для любого $\varepsilon$. Полагаю, что если дана $1/n$-сеть для исходного множества, то можно брать элементы $\frac{k}{n}x_1+\frac{n-k}{n}x_2$ для всех пар $x_1$, $x_2$ из этой сети, и это будет сетью для выпуклой оболочки (возможно, не $1/n$, но того же порядка).

[Nimza]

Оно метризуемо? Я ещё думал через то, что оно монтелевское, а предмонтелевские характеризуются тем, что в них замыкание выпуклой оболочки ограниченных множеств компактно (если я ничего не путаю).

[g______d]

Ну вроде пространства Фреше метризуемы. $\rho(f,g)=\sum\limits_i 2^{-i}\frac{|f-g|_i}{1+|f-g|_i}$, где $|f-g|_i$ --- $i$-ая полунорма.

[Nimza]

А, отлично. С предкомпактностью замыкания выпуклой оболочки всё хорошо. А пространство с такой метрикой будет полным? (То есть пространства Фреше топологически полные?)

Нашёл. Спасибо. Вопрос решён.

[g______d]

Вроде да, и это часть определения.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9ch ... het_spaces

Тот факт, что $C^{\infty}(\Omega)$ --- пространство Фреше, можно проверить руками. Если есть фундаментальная последовательность по данной метрике, то она фундаментальна по любой полунорме. Дальше надо взять полунормы, отвечающие $C^0(K)$ для компактов $K$, построить предельную функцию (мы же знаем полноту $C^0(K)$), а потом доказать, что это то, что нужно.