a белых и b черных шаров

[anxiety]

Из урны, содержащей а белых и b черных шаров, два игрока извлекают шары по очереди без возвращения. Выигрывает тот, кому раньше попадается белый шар. Найти вероятность выигрыша первого игрока.

Мои догадки: если к примеру рассмотреть 2 белых и 3 черных шара то все конечно и просто. Событию A - что первый игрок выигрывает вытаскивая белый шар благоприятствуют 2 исхода {Б} и {ЧЧБ}. Соответственно $P(A)=\frac{2}{2+3} + \frac{3}{2+3}\cdot\frac{2}{2+3-1}\cdot\frac{2}{2+3-2}=\frac{3}{5}$ вычисляется по классической схеме.
Теперь если вернуться к исходной задаче с a белыми и b (пусть b пока четно) черными шарами, то аналогичным образом событию A благоприятствуют b/2+1 исходов {Б}, {ЧЧБ}, {ЧЧЧЧБ}, ... , {ЧЧ...ЧЧБ} (в последнем исходе перед белым шаром стоят все черные). Тогда $P(A)=\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a+b}\cdot\frac{b-1}{a+b-1}\cdot\frac{a}{a+b-2}+ \frac{b}{a+b}\cdot\frac{b-1}{a+b-1}\cdot\frac{b-2}{a+b-2}\cdot\frac{b-3}{a+b-3}\cdot\frac{a}{a+b-4} +...+ \frac{b}{a+b}\cdot\frac{b-1}{a+b-1}\cdot\frac{b-2}{a+b-2}\cdot\cdot\cdot\frac{2}{a+2}\cdot\frac{1}{a+1}\cdot\frac{a}{a}=?$
Далее начинаются проблемы: в сборнике задач Зубков, Севастьянов, Чистяков есть задача № 2.12 которая формулируется именно так как и исходная. и в ответе стоит формула $\frac{a}{a+b}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{b^{2k}}{(a+b-1)^{2k}}$.
Подскажите плз каким же образом от суммы произведений перейти к этому ряду?

[мат-ламер]

Я бы пробовал решать задачу по индукции. Выписал бы рекуррентные соотношения.

[anxiety]

мат-ламер в сообщении #567735 писал(а):

Я бы пробовал решать задачу по индукции. Выписал бы рекуррентные соотношения.

какие соотношения, подскажите?

[arseniiv]

$P(a, b)$ через всевозможные $P(a', b')$, где $0 \leqslant a' \leqslant a$, $0 \leqslant b' \leqslant b$.

[--mS--]

anxiety в сообщении #567721 писал(а):

Далее начинаются проблемы: в сборнике задач Зубков, Севастьянов, Чистяков есть задача № 2.12 которая формулируется именно так как и исходная. и в ответе стоит формула $\frac{a}{a+b}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{b^{2k}}{(a+b-1)^{2k}}$.
Подскажите плз каким же образом от суммы произведений перейти к этому ряду?

Рассмотрите ответ в задачнике и найдите в первой главе, что обозначено символом $N^{[n]}$.

[anxiety]

--mS-- в сообщении #567811 писал(а):

anxiety в сообщении #567721 писал(а):

Далее начинаются проблемы: в сборнике задач Зубков, Севастьянов, Чистяков есть задача № 2.12 которая формулируется именно так как и исходная. и в ответе стоит формула $\frac{a}{a+b}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{b^{2k}}{(a+b-1)^{2k}}$.
Подскажите плз каким же образом от суммы произведений перейти к этому ряду?

Рассмотрите ответ в задачнике и найдите в первой главе, что обозначено символом $N^{[n]}$.

Спасибо большое. Как-то невнимательно получилось у меня. $N^{[n]}=N\cdot(N-1)\cdot\cdot\cdot(N-n+1)$. Тогда $b^{[2k]}=b\cdot(b-1)\cdot\cdot\cdot(b-2k+1)$, а $(a+b-1)^{[2k]}=(a+b-1)\cdot(a+b-2)\cdot\cdot\cdot(a+b-2k)$? но почему тогда $\sum_{k=0}^{\infty}$ а не до $\sum_{k=0}^{\frac{b}{2}{+1}}$?

[--mS--]

Знаете задачу-шутку - вычислить произведение $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\ldots (x-z)$? Вот поэтому же и сумма до бесконечности, ибо ограничивать значение переменной суммирования нет нужды.