МНП в Гильбертовом пр-ве

[alex7851]

Добрый день, помогите пожалуйста.
Задание: построить многочлен наилучшего приближения второй степени к элементу Гильбертова пр-ва $f(x)=x^3$ на $0\leqslant x \leqslant1$.
Я знаю, что МНП в Гильбертовом пр-ве к элементу $f$ - такой $h^{\circ}$, что $\inf\left \| f-h \right \| = \left \| f-h^{\circ} \right \|$ по всем возможным $h$. При этом понимается: $\left \| f(x) \right \| = \underset{a\leqslant x\leqslant b}{\max} \left | f(x) \right |$, а в Гильбертовом пр-ве: $\left \| f \right \| = \sqrt{f\cdot f}$.
Могу ли я просто воспользоваться для решения задачи соображениями отсюда - http://dxdy.ru/topic52422.html, взяв в качестве меры это: $\sqrt{\int\limits_{0}^{1}(P_{2}(x)-x^3)^2 dx}$. Если нет, то как тогда его построить?
Заранее спасибо.

[Aleksandr Pavlovich]

1. Раз сказано "в Гильбертовом пространстве", значит надо брать норму - квадратичное отклонение, про равномерную норму надо забыть.

2. Обязательно воспользуйтесь упомянутой темой - там та же задача, только "параметры другие".

[alex7851]

Aleksandr Pavlovich в сообщении #567587 писал(а):

Раз сказано "в Гильбертовом пространстве", значит надо брать норму - квадратичное отклонение

А почему? Просто меня как раз и смущало, что ничего не сказано про квадратичное отклонение.

[Integrall]

alex7851 в сообщении #567569 писал(а):

Добрый день, помогите пожалуйста.
Задание: построить многочлен наилучшего приближения второй степени к элементу Гильбертова пр-ва $f(x)=x^3$ на $0\leqslant x \leqslant1$.

Совет. Воспользуйтесь свойством наилучшего приближения в Гильбертовом пространстве: разность приближаемого и наилучшего приближения из подпространства ортогональна приближающему подпространству. И наоборот, если вы найдете такой элемент из приближающего подпространства, разность с которым ортогональна этому подпространству, то он и есть наилучший.

[alex7851]

Integrall писал(а):

Совет.

Угу, $f-h^{\circ} \perp H$, если $h^{\circ}$ - ЭНП. Но я смутно представляю, что это значит и как находить его. Допустим, $h^{\circ}$ записать можно как полином 2-й степени. А с $H$ что делать, что это вообще?

PS. Если я тем методом квадратичных отклонений посчитаю, будет правильно?

[Aleksandr Pavlovich]

alex7851 в сообщении #567608 писал(а):

А с $H$ что делать, что это вообще?

Это пространство всех полиномов степени не выше 2. Размерность пространства=3. Условие ортогональности к этому пространству есть система из 3 уравнений (ортогональность к 1; x; x^2).