Задача на комбинаторику

[NeBotan]

Всем привет. Ковыряюсь с такой задачей:

есть три натуральных числа, каждое больше либо равно 1
сумма этих трех чисел = 100
какова вероятность, что одно из этих чисел больше либо равно 51?

Логику решения вижу следующим образом. Задача равносильна следующей: требуется найти вероятность того, что сумма двух чисел меньше 50. Для этого Найду возможное число комбинаций из 48 чисел $A_{48} ^2 =48 \cdot 47=2256$. Теперь найду количество комбинаций, у которых сумма двух чисел меньше или равна 49. Тут у меня ступор, как посчитать их математически, поэтому считаю на пальцах... Получил 1176 вариантов. (только считая "на пальцах" возможное число комбинаций чисел от 1 до 48 получил 2304 комбинации, получается, что в Перестановках $A_{48} ^2$ я что-то не учел?

Вероятность того, что сумма двух чисел будет меньше или равна 49 у меня получилась равной
$P(A)=\frac{1176}{2304}=0,51$.

Правильно ли я решил эту задачу? Жду Ваших комментариев.

[PAV]

Чтобы считать вероятность, нужно определить точнее способ задания чисел. Вполне может оказаться, что при различных способах вероятность получится разной.

[NeBotan]

А что значит способ задания чисел? Я понял задачу так: есть три числа сумма которых равна 100. единственное, мне кажется, что у меня знаменатель неправильный. я по сути выкинул третье число из рассмотрения, беру два числа и смотрю, какова вероятность, что их сумма меньше 50.

[Shadow]

NeBotan в сообщении #567148 писал(а):

А что значит способ задания чисел? Я понял задачу так: есть три числа сумма которых равна 100. единственное, мне кажется, что у меня знаменатель неправильный. я по сути выкинул третье число из рассмотрения, беру два числа и смотрю, какова вероятность, что их сумма меньше 50.

И в чем отличие $a_1=1,a_2=1 \text { и } a_1=1,a_2=98$? В первом случае их сумма меньше 50, во втором - больше. В обеих случаях есть число 98. A если $a_1=60,a_2=80$? Или второе зависит от первого?
Вот коректное условие:
Случайно выбрали 3-х чисел в интервале [1,100]. Их сумма оказалась 100. Какова вероятность, что одно из них больше 50?

[NeBotan]

Shadow
Второе число связано с первым условием, что их сумма не может быть больше 50. В приведенном вами корректном условии надо сделать все те операции, которые я проделал для суммы двух чисел, но уже искать условие когда одно из чисел больше 50. Вопрос такой: какой формулой комбинаторики я могу это посчитать?
я понимаю решение так:
1) найти возможное количество комбинаций трех чисел, при котором их сумма равна 100.
2) Определить, в скольких из этих комбинаций одно из трех чисел больше 50.
3) поделить 2) пункт на 1) пункт.

я только не понимаю, какой формулой я могу правильно посчитать количество этих комбинаций?

[Shadow]

Я формул позабыл, попробуем бабушкиными способами. Количество всех исходов (там где сумма 100). Первое число - любое от 1 до 98. Второе может быть любое от 1 до $99-a_1$ У третьего вариантов нет
$\\a_1=1, N_1=98\\ a_1=2, N_2=97\\ \cdots\\ a_1=98, N_{98}=1$
Т.е количество всех исходов будет сумма нат. числел от 1 до 98.
Из них нужно выбрать благоприятных.

-- 04.05.2012, 10:23 --

Т.е при $a_1=1$, сколко из тех 98 благоприятных и сколко нет.

[NeBotan]

По арифметической прогрессии сумма нат. чисел равна 4851. если из них выбрать кол-во пар чисел, у которых максимальное больше 50, то таких 96. Но делить 96 на 4851 как-то рука не поднимается...
К тому же этот случай подразумевает, что третье число равно 1, а если третье число равно 2 , 3 , ...? Вот это я что-то совсем не догоняю....

[TOTAL]

NeBotan в сообщении #567148 писал(а):

А что значит способ задания чисел? Я понял задачу так: есть три числа сумма которых равна 100.

(1,1,98) и (1,98,1) - это различные тройки чисел с суммой 100?

[NeBotan]

Нет. это одинаковые тройки. спасибо за наглядное разъяснение.

Тогда возвращаясь к сообщению от Shadow, что делить то? Больше 50 будет 48 значений. Если 48/98, то все равно получается 0.49 опять почти половина. но что-то не выглядит правдиво....

[Integrall]

NeBotan в сообщении #567177 писал(а):

По арифметической прогрессии сумма нат. чисел равна 4851. если из них выбрать кол-во пар чисел, у которых максимальное больше 50, то таких 96. Но делить 96 на 4851 как-то рука не поднимается...

вы явно просчитались. Корректно определите число благоприятных вариантов для каждого случая. И суммируйте их, потом делите на общее количество возможных исходов.

[TOTAL]

$(a,b,c)$ - считайте, что в этой тройке $a \ge b \ge c$
Найдите количество троек, в которых $a=98,$ затем $a=97$ и и т.д.
Например, если $a=34$ (а меньше оно не может быть) , то таких троек 33 штуки.

[NeBotan]

Где я просчитался-то? кол-во всех возможных вариантов наборов чисел 98 (от 1 до 98). Кол-во все благоприятных вариантов, при которых $a_1$ больше 50 равно 48. Снова получается 48/98

-- Пт май 04, 2012 12:36:22 --

TOTAL, то есть искать все таки следует по тройкам? А формулами это все можно найти или именно подстановкой и пробеганием от 98 до 97...?

[TOTAL]

NeBotan в сообщении #567200 писал(а):

то есть искать все таки следует по тройкам? А формулами это все можно найти или именно подстановкой и пробеганием от 98 до 97...?

Следует искать так, чтобы не противоречить условию. Формула зависит от того, что понимается под тройкой чисел.