Интеграл от дифференциальной формы

[Aliara]

Добрый день. Не могу разобраться как решить подобный пример:
Пусть есть кусочно гладкая кривая, которая состоит из четырех кусков, которые можно рассматривать как параметризованные кривые:

$$\gamma_1: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, где x\mapsto (x,0)$$

$$\gamma_2: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, где y\mapsto (1,y)$$

$$\gamma_3: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, где x\mapsto (x,1)$$

$$\gamma_4: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, где y\mapsto (0,y).$$

Найти интеграл от 1-формы $\omega=Pdx$ по кривой.

Расписала по определению интеграл, а вот что дальше делать, понять не могу. Было бы из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}^2$, еще бы сообразила, а так ступор наступает...

$$\int\limits_{\gamma_1} P(x,y) dx=\int\limits_{[0,1]} {\gamma_1}^*(P(x,y)dx)$$

[Xaositect]

Ну давайте разбираться. Что такое $\gamma_1^{*}$? (В смысле, как оно определяется?)

[Aliara]

Xaositect

Отображение, которое переносит формы, заданные на отрезке в формы на плоскости

[Xaositect]

Точно? Судя по тому, что Вы написали в формуле, все наоборот.
Вы по какому учебнику занимаетесь?

[Aliara]

Xaositect
Прошу прощения, невнимательно посмотрела. Наоборот, конечно.
Зорич. Математический анализ.

[Xaositect]

Вот.
Теперь посмотрите на то, как это преобразование в Зориче $\gamma\mapsto \gamma^{*}$ определяется и перенести форму $Pdx$ с плоскости на отрезок.

Интуитивно это можно понимать так:
Давайте перенесем по отдельности $P$ и $dx$. Если есть поле $P(x,y)$, то его значения очевидно переносятся на $[0,1]$ с помощью $\gamma$. Напишите выражение, переносящее значения $P(x,y)$ на $[0,1]$.
С дифференциалами чуть сложнее. На $[0,1]$ у нас один дифференциал $dt$, а на плоскости --- два. Малому отрезку $dt$ отрезка $[0,1]$ соответсвует малый кусочек кривой $(dx,dy)$. То есть при интегрировании кусочку кривой с заданным $dx$ соответствует изменение $\frac{d \gamma_x}{dt} dt$ на исходном отрезке

[Aliara]

Xaositect в сообщении #566948 писал(а):

Напишите выражение, переносящее значения $P(x,y)$ на $[0,1]$.

$P(x,0)?$

Xaositect в сообщении #566948 писал(а):

То есть при интегрировании кусочку кривой с заданным $dx$ соответствует изменение $\frac{d \gamma_x}{dt} dt$ на исходном отрезке

Пока до меня не доходит, что с этим делать...

[Aliara]

Речь ведь, по сути,в задаче идет о сужении формы на поверхности?