Геометрическая

[ton007]

Можно ли построить описанный 2003-многоугольник, если он имеет стороны длиной 1,2,...,2003. Причем стороны могут располагаться и не по порядку.

[Gordmit]

Это что-то олимпиадное?.. Предполагаю даже, что олимпиада, на которой была предложена такая задача, состоялась в 2003 году

[RIP]

ton007 писал(а):

Можно ли построить описанный 2003-многоугольник, если он имеет стороны длиной 1,2,...,2003. Причем стороны могут располагаться и не по порядку.

Нельзя. Пусть длины сторон (по часовой стрелке) равны $a_1=1,a_2,a_3,\ldots,a_{2003}$. Точками касания стороны делятся на отрезки длин:
№1: $x$ и $a_1-x=1-x$, $x\in(0;1)$;
№2: $a_1-x$ и $a_2-a_1+x$
...
№2003: $a_{2002}-a_{2001}+a_{2000}-\ldots-a_1+x$ и $a_{2003}-a_{2002}+a_{2001}-\ldots-a_2+a_1-x$
Значит, $x=a_{2003}-a_{2002}+a_{2001}-\ldots-a_2+a_1-x$. Учитывая, что $a_j$ целые, а $x\in(0;1)$, имеем
$a_{1}+a_3+a_5+\ldots+a_{2003}=a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{2002}+1$.
Значит, число $a_1+a_2+\ldots+a_{2003}=1+2+\ldots+2003=\frac{2003\cdot2004}2$ нечетно. Нонсенс. (Я даже на калькуляторе проверил на всякий случай. Это четное число)