Матан: добиться непрерывности ("итерирование ядра")

[Nimza]

У меня есть функция $f(x,y)$ вида

$$ f(x,y) = \frac{h(x,y)}{|x-y|^{\alpha}} $$

где $x$, $y$ из некоторого компакта $D \subset \mathbb{R}^{n}$, а $h$ непрерывна. Будем итерировать функцию $f(x,y)$:

$$ f^{*1}(x,y) = \int\limits_{D} f(x,\xi) f(\xi,y) \, d\xi, \;\;\; \ldots, \;\;\; f^{*(n+1)}(x,y) = \int\limits_{D} f^{*n}(x,\xi) f(\xi,y) \, d\xi $$

Как посчитать наименьшее число итераций $n$ за которое, можно добиться непрерывности функции $f^{*n}(x,y)$?

[g______d]

Это поможет?

http://www.encyclopediaofmath.org/index ... ingularity

[Nimza]

Да, спасибо большое. Вообще интересно для интеграла

$$ g(y,z) = \int\limits_{D} f(x,y,z) \, dx $$

где $D$ компакт в $\mathbb{R}^n$ оценить скорость роста в точках $y=z$, если у $f$ единственная неинтегрируемая особенность в точках $x=y=z$. Подскажите, пожалуйста, какую-нибудь литературу.

[g______d]

Первое, что приходит в голову, --- заменить все коэффициенты при сингулярностях на константы (т. е. в первом примере взять $h(x,y)=1$) и посчитать руками. Поправка будет иметь сингулярность меньшего порядка. Более честно было бы заменять $h(x,y)$ не на 1, а на $g(x)$, но замена $1$ на $g(x)$ --- это умножение на функцию уже после интегрирования.

Все результаты, скорее всего, получаются, если рассматривать конкретные типы сингулярностей.

О литературе: такие интегралы используются в классических теоремах вложения Соболева. Самая техническая книжка по этой теме --- это Бесов, Ильин, Никольский "Интегральные представления функций и теоремы вложения", там попутно есть многие свойства таких интегралов. Есть еще книжка Красносельский и еще кто-то, "Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций".

Следующий шаг --- это, видимо, Стейн, "Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций", там есть еще более тонкие свойства.

[Nimza]

Спасибо, буду смотреть.