Разложение оператора в прямую сумму (проверить решение)

[CptPwnage]

Задача: $A$ - самосопряженный оператор, со спектром $K_1 \cup K_2$ , $K_1$ и $K_2$ компактны, $ K_1 \cap K_2=\varnothing.$ Доказать что $A$ можно представить в виде прямой суммы операторов со спектрами $K_1$ и $K_2$ соответственно.
Что мне известно:
спектр самосопряженного оператора лежит на отрезке $[\sigma_{-},\sigma_{+}]$, где

$$\sigma_{-}=\inf\limits_{\|x\|=1}(Ax,x), \sigma_{+}=\sup\limits_{\|x\|=1}(Ax,x),$$

и теорема Вейля: число $\lambda$ принадлежит спектру самосопр. оператора $A$ тогда и только тогда, когда существует такая последовательность $x_n$, что

$$\|x_n\|=1 ,\|A x_n-\lambda x_n\| \rightarrow 0$$

Пробую доказывать так:
рассмотрим все $\lambda$ лежащие в $K_1$. Для каждого $\lambda$ рассмотрим последовательность $x_n$ из теоремы. Рассмотрим замыкание линейной оболочки объединения всех таких последовательностей $H_1$. Положим сужение $A$ на $H_1$ первым оператором, на ортогональное дополнение к $H_1$ вторым оператором.
Получим искомое.

Почему-то кажется это неверно.

[ewert]

Пусть $P_1=\dfrac{i}{2\pi}\oint\limits_{\Gamma_1}(A-\lambda I)^{-1}d\lambda$, где $\Gamma_1$ -- контур, не пересекающийся со спектром, охватывающий компакт $K_1$ и не содержащий точек $K_2$ (это -- т.наз. "спектральный проектор"). Тогда оператор $A_1P_1$ самосопряжён и его спектр совпадает с $K_1$; соответственно, спектр $A_2=A-A_1$ совпадает с $K_2$.

-- Вт май 01, 2012 16:53:01 --

CptPwnage в сообщении #566236 писал(а):

Почему-то кажется это неверно.

Да, неверно: ведь в элементах последовательности, построенной для одного из компактов, вполне могут содержаться составляющие из альтернативного подпространства -- предельному переходу это не помешает.

[CptPwnage]

Спасибо, попробую разобраться.

Что-то не могу найти про спектральные проекторы ни в каком имеющемся учебнике...

[ewert]

Ну погуглите на Данфорд-Шварц, или на Рид-Саймон, или на Т.Като, или на Бирман-Соломяк, или ещё на чего...

Ей-богу, не помню, откуда такая схема. Но она вполне стандартна и вполне прозрачна, и при этом вполне конструктивна. А иначе так сразу даже и не соображу, каким боком можно вообще зацепиться за спектральные подпространства.

[CptPwnage]

Да, очень красиво, похоже на интегральную формулу Коши для резольвентной функции.

[g______d]

Если гуглить "спектральный проектор", то легче всего нарваться на спектральную теорему. Из нее данный факт очевидно следует, конечно, но это overkill. Формула с интегралом хороша тем, что все утверждения из первого поста для нее можно проверить руками.

http://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphi ... l_calculus

В отличие от спектральной теоремы, эта формула работает и в несамосопряженном случае (и даже в еще более общих ситуациях), просто проектор перестанет быть ортогональным.

[ewert]

CptPwnage в сообщении #566317 писал(а):

похоже на интегральную формулу Коши для резольвентной функции.

Она не просто похожа -- она она и есть. Дело в том, что основные теоремы ТФКП достаточно автоматически переносятся на операторнозначные функции. Ну а резольвента -- аналитична (там, где она определена, естественно) достаточно автоматически.









.