2 геометрических задания

BENEDIKT · 17/04/11 420

1) По разные стороны от прямой $a$ даны 2 точки $A$ и $B$ на расстояниях $10$ см и $4$ см от неё. Найти расстояние от середины отрезка $AB$ до прямой $a$ .

Продлим перпендикуляры, определяющие расстояния от точек $A$ и $B$ на величину равных им отрезков до т. $D$ и $C$ соответственно. Соединим отрезками т. $A$ и $C$ , $B$ и $D$ , получив четырёхугольник $ACBD$ .
Поскольку отрезки $CB$ и $A$ D перпендикулярны прямой $a$ , они параллельны друг другу. Т. о. $ACBD$ - трапеция. Прямая $a$ делит каждый из отрезков $CB$ и $AD$ на 2 равные части. Тогда боковые стороны трапеции, соединяющие концы отрезков-оснований, равны, т. е. трапеция является равнобедренной. Отрезок $AB$ , определяющий расстояние от $A$ до $B$ , является диагональю трапеции. Собственно, расстояние от середины $AB$ до прямой $a$ , очевидно, определяется перпендикуляром. И с его нахождением возникла проблема. Может, здесь вообще не следует строить равнобедренную трапецию?

2) Концы диаметра удалены от касательной к окружности на $1,6$ м и $0,6$ м. Найти длину диаметра.

Построим окружность, проведём её диаметр. Проведём касательную к окружности. Расстояние от концов диаметра до касательной определяется перпендикулярами, соединяющими эти точки с касательной. Обозначим концы диаметра $A$ и $B$ , а точки пересечения перпендикуляров с касательной – $D$ и $C$ соответственно.
Поскольку $AD$ и $BC$ перпендикулярны касательной, они параллельны друг другу. Следовательно, $ABCD$ – трапеция. Поскольку $AD$ и $BC$ – перпендикуляры, $ABCD$ является прямоугольной трапецией.
Т. о. известны основания трапеции. Диаметр является одной из её боковых сторон. С чего можно начать нахождение длины диаметра?

Алексей К. · 29/09/06 4552

2). Я нарисовал отрезок, соединяющий центр окружности и точку касания. Мне очень понравился этот отрезок, и я с удовольствием созерцаю его. Думаю, это созерцание в конце концов поможет мне решить эту задачу.

-- 01 май 2012, 14:24:21 --

1) Я пока вместо точки $B$ взял точку $B_1$ , которая лежит как ей положено по условию задачи, но не где попало, а на продолжении перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $a$ . И я решил задачу для этого частного случая (сначала просто линеечкой померял)!

После обеда я собираюсь двигать точку $B_1$ в положение $B$ и следить, что при этом случится с искомым расстоянием.

BENEDIKT · 17/04/11 420

Алексей К. в сообщении #566162 писал(а):

отрезок, соединяющий центр окружности и точку касания

Благодарю. Теперь ясно.

Алексей К. в сообщении #566162 писал(а):

Я пока вместо точки $B$ взял точку $B_1$ , которая лежит как ей положено по условию задачи, но не где попало, а на продолжении перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $a$ . И я решил задачу для этого частного случая (сначала просто линеечкой померял)!
После обеда я собираюсь двигать точку $B_1$ в положение $B$ и следить, что при этом случится с искомым расстоянием.

Отрезок $AB$ при этом будет равен $AB_1$ ? А искомый перпендикуляр, соединяющий середину $AB$ с прямой $a$ , как я понимаю, будет равен аналогичному отрезку, соединяющему середину $AB_1$ с прямой $a$ , будучи отрезком, лежащим на средней линии трапеции?

Алексей К. · 29/09/06 4552

BENEDIKT в сообщении #566272 писал(а):

Отрезок $AB$ при этом будет равен $AB_1$ ?

По-моему, никогда не будет равен, кроме, естественно, случая $B=B_1$ . Где-то Вы перемудрили.

Пусть $M$ --- середина $AB$ , $M_1$ --- середина $AB_1$ .

BENEDIKT в сообщении #566272 писал(а):

А искомый перпендикуляр, соединяющий середину $AB$ с прямой $a$ , как я понимаю, будет равен аналогичному отрезку, соединяющему середину $AB_1$ с прямой $a$ , будучи отрезком, лежащим на средней линии трапеции?

Вот не строил я трапеций. Т.е. надо перечитать Ваше сообщение, вспомнить, что за трапеция там фигурировала, но... Но я буду за своё держаться. У меня там только треугольники вырисовываются, типа $\triangle ABB_1$ . И средняя линия этих треугольников, $MM_1$ . И отрезок $MM_1$ параллелен прямой $a$ , и расстояние от любой возможной точки $M$ до этой прямой неизменно. То, что я нашёл для случая $M=M_1$ , верно всегда.
Не только после обеда.

BENEDIKT · 17/04/11 420

Алексей К.
Благодарю Вас. Что до трапеции, я решил построить её потому, что задание связано с соответствующей темой. Но вообще-то вполне можно довольствоваться и треугольником.

Integrall · 02/05/12 110 €Союз

BENEDIKT в сообщении #566154 писал(а):

1) По разные стороны от прямой $a$ даны 2 точки $A$ и $B$ на расстояниях $10$ см и $4$ см от неё. Найти расстояние от середины отрезка $AB$ до прямой $a$ .