2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 2 геометрических задания
Сообщение01.05.2012, 12:27 
1) По разные стороны от прямой $a$ даны 2 точки $A$ и $B$ на расстояниях $10$ см и $4$ см от неё. Найти расстояние от середины отрезка $AB$ до прямой $a$.

Продлим перпендикуляры, определяющие расстояния от точек $A$ и $B$ на величину равных им отрезков до т. $D$ и $C$ соответственно. Соединим отрезками т. $A$ и $C$, $B$ и $D$, получив четырёхугольник $ACBD$.
Поскольку отрезки $CB$ и $A$D перпендикулярны прямой $a$, они параллельны друг другу. Т. о. $ACBD$ - трапеция. Прямая $a$ делит каждый из отрезков $CB$ и $AD$ на 2 равные части. Тогда боковые стороны трапеции, соединяющие концы отрезков-оснований, равны, т. е. трапеция является равнобедренной. Отрезок $AB$, определяющий расстояние от $A$ до $B$, является диагональю трапеции. Собственно, расстояние от середины $AB$ до прямой $a$, очевидно, определяется перпендикуляром. И с его нахождением возникла проблема. Может, здесь вообще не следует строить равнобедренную трапецию?


2) Концы диаметра удалены от касательной к окружности на $1,6$ м и $0,6$ м. Найти длину диаметра.

Построим окружность, проведём её диаметр. Проведём касательную к окружности. Расстояние от концов диаметра до касательной определяется перпендикулярами, соединяющими эти точки с касательной. Обозначим концы диаметра $A$ и $B$, а точки пересечения перпендикуляров с касательной – $D$ и $C$ соответственно.
Поскольку $AD$ и $BC$ перпендикулярны касательной, они параллельны друг другу. Следовательно, $ABCD$ – трапеция. Поскольку $AD$ и $BC$ – перпендикуляры, $ABCD$ является прямоугольной трапецией.
Т. о. известны основания трапеции. Диаметр является одной из её боковых сторон. С чего можно начать нахождение длины диаметра?

 
 
 
 Re: 2 геометрических задания
Сообщение01.05.2012, 12:43 
2). Я нарисовал отрезок, соединяющий центр окружности и точку касания. Мне очень понравился этот отрезок, и я с удовольствием созерцаю его. Думаю, это созерцание в конце концов поможет мне решить эту задачу.

-- 01 май 2012, 14:24:21 --

1) Я пока вместо точки $B$ взял точку $B_1$, которая лежит как ей положено по условию задачи, но не где попало, а на продолжении перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $a$. И я решил задачу для этого частного случая (сначала просто линеечкой померял)!

После обеда я собираюсь двигать точку $B_1$ в положение $B$ и следить, что при этом случится с искомым расстоянием.

 
 
 
 Re: 2 геометрических задания
Сообщение01.05.2012, 17:10 
Алексей К. в сообщении #566162 писал(а):
отрезок, соединяющий центр окружности и точку касания

Благодарю. Теперь ясно.
Алексей К. в сообщении #566162 писал(а):
Я пока вместо точки $B$ взял точку $B_1$, которая лежит как ей положено по условию задачи, но не где попало, а на продолжении перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $a$. И я решил задачу для этого частного случая (сначала просто линеечкой померял)!
После обеда я собираюсь двигать точку $B_1$ в положение $B$ и следить, что при этом случится с искомым расстоянием.

Отрезок $AB$ при этом будет равен $AB_1$? А искомый перпендикуляр, соединяющий середину $AB$ с прямой $a$, как я понимаю, будет равен аналогичному отрезку, соединяющему середину $AB_1$ с прямой $a$, будучи отрезком, лежащим на средней линии трапеции?

 
 
 
 Re: 2 геометрических задания
Сообщение01.05.2012, 19:54 
BENEDIKT в сообщении #566272 писал(а):
Отрезок $AB$ при этом будет равен $AB_1$?
По-моему, никогда не будет равен, кроме, естественно, случая $B=B_1$. Где-то Вы перемудрили.

Пусть $M$ --- середина $AB$, $M_1$ --- середина $AB_1$.
BENEDIKT в сообщении #566272 писал(а):
А искомый перпендикуляр, соединяющий середину $AB$ с прямой $a$, как я понимаю, будет равен аналогичному отрезку, соединяющему середину $AB_1$ с прямой $a$, будучи отрезком, лежащим на средней линии трапеции?
Вот не строил я трапеций. Т.е. надо перечитать Ваше сообщение, вспомнить, что за трапеция там фигурировала, но... Но я буду за своё держаться. У меня там только треугольники вырисовываются, типа $\triangle ABB_1$. И средняя линия этих треугольников, $MM_1$. И отрезок $MM_1$ параллелен прямой $a$, и расстояние от любой возможной точки $M$ до этой прямой неизменно. То, что я нашёл для случая $M=M_1$, верно всегда.
Не только после обеда.

 
 
 
 Re: 2 геометрических задания
Сообщение02.05.2012, 22:23 
Алексей К.
Благодарю Вас. Что до трапеции, я решил построить её потому, что задание связано с соответствующей темой. Но вообще-то вполне можно довольствоваться и треугольником.

 
 
 
 Re: 2 геометрических задания
Сообщение03.05.2012, 00:54 
Аватара пользователя
BENEDIKT в сообщении #566154 писал(а):
1) По разные стороны от прямой $a$ даны 2 точки $A$ и $B$ на расстояниях $10$ см и $4$ см от неё. Найти расстояние от середины отрезка $AB$ до прямой $a$.


расстояние от середины отрезка $AB$ до прямой $a$ равно $3$ см.

-- 03.05.2012, 00:03 --

BENEDIKT в сообщении #566154 писал(а):
2) Концы диаметра удалены от касательной к окружности на $1,6$ м и $0,6$ м. Найти длину диаметра.


длина диаметра составляет $2$ м. Это следует из свойств трапеции.

 
 
 
 Re: 2 геометрических задания
Сообщение03.05.2012, 10:15 
Integrall в сообщении #566768 писал(а):
длина диаметра составляет $2$ м.
Неверно.

 
 
 
 Re: 2 геометрических задания
Сообщение03.05.2012, 11:04 
Аватара пользователя
sorry, ночные бдения ведут к опечаткам.

длина диаметра составляет $2,20$ м.

 
 
 
 Re: 2 геометрических задания
Сообщение03.05.2012, 16:24 
Благодарю Вас.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group