ex cl conv K = K

[Nimza]

При каких условиях множества $\mathop{\mathrm{ex}} \overline{ \mathop{\mathrm{conv}} K }$ и $K$ совпадают, если $\overline{ \mathop{\mathrm{conv}} K }$ --- бесконечномерный выпуклый компакт?

[мат-ламер]

Что такое ex?

[Nimza]

Крайние точки. Точка крайняя, если она не лежит внутри отрезка между двумя другими точками из того же множества.

[мат-ламер]

Выскажу гипотезу (не уверен). Пусть $L$ - произвольное выпуклое замкнутое множество. По этому множеству построим множество $K$, как множество его крайних точек. Тогда $K$ будет удовлетворять требованиям из первого поста. Тут ещё надо продумать и то, что так можно получить все такие множества.

[Nimza]

Хм. Можно ещё теорему Мильмана применить: $\mathop{\mathrm{ex}} \overline{\mathop{\mathrm{conv}}{K}} \subseteq \overline{K}$. Если $K$ замкнуто, необходимое условие --- чтобы никакая точка из $K$ не лежала между двумя другими. В конечномерном случае, например, оно не будет достаточным (взять в качестве $K$ вершины равностороннего треугольника плюс его центр масс). В бесконечномерном случае видимо тоже достаточным это не будет.