Обобщение теоремы Лагранжа

[scwec]

Известно,(теорема Лагранжа) что сумма четырех квадртов умноженная на сумму четырех квадратов, равна сумме четырех квадратов (целых чисел),
А вот теперь вопрос. Пусть $a=x^2+y^2-z^2-u^2$
$b=x_1^2+y_1^2-z_1^2-u_1^2$
Докажите, что $ab=x_2^2+y_2^2-z_2^2-u_2^2$

[Nilenbert]

Любое целое число $n$ можно представить в виде $n=x^2+y^2-z^2-u^2$ с целыми $x,y,z,t$, так что это несколько лишено смысла. Или вы утверждаете что есть какая-то простая зависимость между $x_i, y_i, z_i, u_i$?

[scwec]

Предполагалось написать как выражаются $x_2,y_2,z_2,u_2$ через $x,y,z,u,x_1,y_1,z_1,u_1$.
А затем придумать обобщающее выражение, из которого бы получалась и формула Лагранжа и ненаписанная пока формула.

[INGELRII]

Уж обобщать, так обобщать. Найти все квадратичные формы $P(x,y,z,u)$, обладающие тем свойством, что при любых целых $x_0, y_0, z_0, u_0, x_1, y_1, z_1, u_1$ найдутся такие целые $x_2, y_2, z_2, u_2$ (причем выражающиеся как-то через переменные $x_0, y_0, ..., u_1$), что выполнено $P(x_0, y_0, z_0, u_0) P(x_1, y_1, z_1, u_1) = P(x_2, y_2, z_2, u_2)$.

[ex-math]

Все-таки теорема Лагранжа -- это не замкнутость множества сумм четырех квадратов относительно умножения, а тот факт, что любое натуральное число представляется такой суммой.

[scwec]

Действительно, ex-math прав в отношений названий. И теорема Лагранжа о представлении суммой четырех квадратов. И фомула умножения сумм четырех квадратов - не Лагранжа, а Эйлера. Издержки.
Но предполагалось сделать то, что предложил INGELRII.
Кстати, просьба к Nilenbert сослаться на что-нибудь насчет представления любого целого числа $N=x^2+y^2-z^2-u^2$

[hippie]

scwec в сообщении #566276 писал(а):

Кстати, просьба к Nilenbert сослаться на что-нибудь насчет представления любого целого числа $N=x^2+y^2-z^2-u^2$

Надеюсь, можно ответить вместо Nilenbert.

Любое целое число либо чётное либо нечётное.
Если число чётное, то оно имеет вид $2k,$ и тогда:
$2k=(k+1)^2+0^2-k^2-1^2;$
Если число нечётное, то оно имеет вид $2k+1,$ и тогда:
$2k+1=(k+1)^2+0^2-k^2-0^2.$

[scwec]

Вообще-то имелись в виду натуральные числа, но в тексте действительно целые.
Давайте то же для натуральных чисел

[Someone]

$2k=(k+2)^2+1^2-(k+1)^2-2^2$
$2k-1=(k+2)^2+(k+2)^2-(k+3)^2-k^2$

[scwec]

Пусть теперь $a={x}^2+{y}^2-{z}^2-{u}^2$, $b={x_1}^2+{y_1}^2-{z_1}^2-{u_1}^2$
Положим
$x_2=xx_1-yy_1+zz_1-uu_1$,
$y_2=xy_1+x_1y+zu_1+z_1u$,
$z_2=zx_1+xz_1+uy_1+yu_1$,
$u_2=ux_1-xu_1-zy_1+yz_1$.
Тогда $ab={x_2}^2+{y_2}^2-{z_2}^2-{u_2}^2$
(то что первоначально и имелось в виду).
Из этих тождеств и решений Someone принимая во внимание, что $1=3^2+3^2-4^2-1^2$
получаются новые решения
$2k=(7k+5)^2+(4k+18)^2-(7k+18)^2-(4k-5)^2$
$2k-1=(3k-3)^2+(11k+24)^2-(11k+19)^2-(3k+15)^2$.
А из этих опять решения и т.д.
Возникает вопрос - бесконечна ли серия получаемых таким образом решений, не возникнет ли периодичность и т.п.

[scwec]

Получим теперь бесконечные серии решений, зависящие от двух параметров $m,n$.
Воспользуемся тем, что $1=1^2+(m^2+n^2)^2-(2mn)^2-(m^2-n^2)^2$
Положим
$x=k+2,y=1,z=k+1,u=2$,
$x_1=1, y_1=m^2+n^2, z_1=2mn,u_1=m^2-n^2$.
Из формул для $x_2,y_2,z_2,u_2$ из предыдущего сообщения, получаем следующее:
$(2mnk+k+n^2-3m^2+2mn+2)^2+(2km^2+3m^2+n^2+4mn+1)^2 -(2mnk+k+4mn+3m^2+n^2+1)^2-(2m^2k+3m^2-n^2-2mn-2)^2=2k$ - представление для четного числа.

Полагая $x=k+2,y=k+2,z=k,u=k+3$ и $x_1=1, y_1=m^2+n^2, z_1=2mn,u_1=m^2-n^2$
используя те же формулы, получаем представление нечетного числа:
$(k-2km^2+2kmn-5m^2+n^2+2)^2+(2km^2+2kmn+k+2m^2+2n^2+6mn+2)^2-(k+2kmn+2km^2+5m^2+n^2+4mn)^2-(k-2km^2+2kmn+4mn+2n^2-2m^2+3)^2=2k-1$
$m,n$ - целые числа. Из выражений для $2k$ и $2k-1$ видно, что бесконечным числом способов всегда можно выбрать $m,n$ так, чтобы составляющие в круглых скобках все не равнялись нулю.
Выбирая значения $x,y,z,u$ другим образом, получим новые серии представления.
Например,для $2k$: $x=3k+2,y=2k+9,z=3k+9,u=2k-2$
Для $2k-1$: $x=k-2,y=5k+12,z=5k+10,u=k+7$.

[scwec]

Пусть $A,B,C,D$ -целые числа
$g(x,y,z,u)=Ax^2+By^2+Cz^2+Du^2$
При каких $A,B,C,D$ для любых целых чисел $x,y,z,u,x_1,y_1,z_1,u_1$ существуют целые $x_2,y_2,z_2,u_2$ такие,что
$g(x,y,z,u)\cdot{g(x_1,y_1,z_1,u_1)}=g(x_2,y_2,z_2,u_2)\qquad(1)$. Известна формула Эйлера, используемая при доказательстве теоремы Лагранжа о четырех квадратах. Она дает $A=B=C=D=1$. Выше был рассмотрен случай $A=B=-C=-D=1$
Можно доказать, что при $A=1,D=B\cdot{C}$ $(1)$ выполняется. Это обобщение первых двух случаев.
Существуют ли другие варианты?