интегралы, вычеты...

[tavrik]

Несколько интегралов, по которым хотелось бы знать, правильны ли мои рассуждения.
кому что бросится в глаза или увидет ошибку - напишите направление.
буду решать. время в принципе есть.

1) $\int{e^{e^{\frac{1}{z}}}dz}$
задан контур($|z-i|=2$), который включает в себя точку 0.
которая явлется существенной особой?
но по теореме об остатках и по формуле - находим что точка $\infty$ является устранимой($ \lim_{z \to \infty} f(z)=e$.
поэтому остаток 0? а с ним и $2\pi i \operatorname{Res}$ и интеграл?

2) $\int{\frac{zdz}{\sin^3 z\cos z}}$
по прямоугольному контуру с вершинами: $-1 \pm{i}, 2 \pm{i}$
внутри контура 2 особые точки:
в точке 0 - двойной полюс
в точке $\frac{\pi}{2}$- простой
дальше по формулам вычетов...

3) $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{\sh x}dx$
здесь не знаю как быть.
переход в комплексную плоскость с полярной параметризацией, типа сегмента с углом $\frac{\pi}{4}$
?

в конце вроде должен выйти 0 но не так просто чтобы на словах объяснить - надо решать.

4) $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^6+1}dx$
равен половине интеграла на весь отрезок.
дальше переходим к аналогичному интегралу $dz$
если закрыть его полуокружностью, внутри контура останутся точки: $z_0=i, z_1=-\sqrt{2}+\frac{i}{2}, z_5=\sqrt{2}+\frac{i}{2}$
как его формально расписать на дуге...$|\int\limits_{0}^{\pi}\frac{1}{z^6+1}|\leqslant\pi R \max {f(z)}... $

может, тут не полуокружность надо а прямоугольник ниже $\frac{i}{2}$ нужен?

[мат-ламер]

В первой и третьей задаче можно попробовать разложить подинтегральную функцию в ряд Лорана. В четвёртой задаче радиус полукруга устремить к бесконечности.

[ewert]

tavrik в сообщении #565485 писал(а):

$ z_1=-\sqrt{2}+\frac{i}{2}, z_5=\sqrt{2}+\frac{i}{2}$

Ну уж прям-таки.

tavrik в сообщении #565485 писал(а):

как его формально расписать на дуге...

Никак -- просто сослаться на стандартную теорему.

tavrik в сообщении #565485 писал(а):

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{\sh x}dx$
здесь не знаю как быть.

Стандартно заменить синус в числителе на экспоненту (не забывая о том, что в нуле при этом появится простой полюс). И замкнуть отрезок вещественной оси в прямоугольник, верхняя граница которого уходит в бесконечность, проходя каждый раз посередине между очередной парой нулей гиперболического синуса в знаменателе, сидящих на мнимой оси. Тогда со стремлением к нулю интегралов по добавленным отрезкам всё будет нормально, а полученный ряд из вычетов свернётся в сумму геометрической прогрессии.

[tavrik]

неверные корни...корни $e^{i(\pi+\frac{\pi k}{3})}| k=0, 1, 2, 3, 4, 5$

остальное буду смотреть

udate
a..с вычетом в окрестности бесконечности я прогнал - даже если точка устранима то вовсе не значит, что вычет равен 0...

[tavrik]

ewert в сообщении #565496 писал(а):

Стандартно заменить синус в числителе на экспоненту (не забывая о том, что в нуле при этом появится простой полюс).

а почему появляется полюс? он появляется когда я от, скажем, $d\xi$ перехожу к $dz$ и умножаю числитель и знаменатель на $ie^{i\xi}$
в этом примере я разве перехожу к контурному интегралу по единичной окружности?

и вопрос - при таком переходе для функции с периодом $2\pi$ - заданные границы интеграции имеют значение? ну например $ \int \limits_{-\pi}^{\pi}$ и интеграл $ \int \limits_{0}^{2\pi}$ переносятся на единичный круг с одной лишь разницей - где я начинаю обход этого круга?
на результат вычисления это не влияет?

---
4й и 2й - уже не надо