SO(3)

[Oleg Zubelevich]

А верно ли, что $SO(3)$ является расслоением с базой $S^2$ и слоем $S^1$?

[apriv]

Oleg Zubelevich в сообщении #565434 писал(а):

А верно ли, что $SO(3)$ является расслоением с базой $S^2$ и слоем $S^1$?

Да. Вообще, $SO(n+1)$ является расслоением над $S^n$ со слоем $SO(n)$.

[Munin]

apriv
А для $SU(n)$ аналогичное свойство есть?

[apriv]

Munin в сообщении #565459 писал(а):

apriv
А для $SU(n)$ аналогичное свойство есть?

Ну да, сколько угодно: $SU(n+1)$ является расслоением над $S^{2n+1}$ со слоем $SU(n)$. Чуда не вижу я в том: если $H$ — замкнутая подгруппа группы $G$, то $G$ является расслоением над $G/H$ со слоем $H$.

[Munin]

Спасибо огромное! Всегда хотел понять толком, а сил посчитать самому не было.

[FFFF]

apriv в сообщении #565457 писал(а):

Вообще, $SO(n+1)$ является расслоением над $S^n$ со слоем $SO(n)$.

А правда ли, что при $n>3$ это расслоение уже не тривиально?

[apriv]

FFFF в сообщении #565807 писал(а):

apriv в сообщении #565457 писал(а):

Вообще, $SO(n+1)$ является расслоением над $S^n$ со слоем $SO(n)$.

А правда ли, что при $n>3$ это расслоение уже не тривиально?

Это расслоение не тривиально при $n\geq 2$.

[Munin]

Стоп, я чего-то не понимаю. Пространство расслоения над $S^2$ со слоем $S^1$ может быть $S^3$? Как это так? На какую точку в базе проецируется полюс трёхмерной сферы?

[apriv]

Munin в сообщении #565888 писал(а):

Стоп, я чего-то не понимаю. Пространство расслоения над $S^2$ со слоем $S^1$ может быть $S^3$? Как это так? На какую точку в базе проецируется полюс трёхмерной сферы?

Не $S^3$, а $SO(3)$. $SO(3)$ гомеоморфно фактору $S^3$ по $\mb Z/2\mb Z$, то есть, проективному пространству.

[FFFF]

apriv в сообщении #565840 писал(а):

Это расслоение не тривиально при $n\geq 2$.

"Элементарная топология" Виро, Нецветаев и др.
задача 19.49 страница 149

Цитата:

Докажите, что пространство $SO(4)$ гомеоморфно $S^3 \times SO(3)$

На странице 380 можно посмотреть доказательство, в котором гомеоморфизм организовывается с помощью кватернионов.
Разве это не означает, что такое расслоение тривиально? А как можно понять, почему при увеличении размерности расслоение перестаёт быть тривиальным? Какие книжки можно посмотреть?

-- 30.04.2012, 22:45 --

Munin в сообщении #565888 писал(а):

Пространство расслоения над $S^2$ со слоем $S^1$ может быть $S^3$? Как это так?

Такое тоже есть, это расслоение Хопфа

[apriv]

FFFF в сообщении #565978 писал(а):

apriv в сообщении #565840 писал(а):

Это расслоение не тривиально при $n\geq 2$.

"Элементарная топология" Виро, Нецветаев и др.
задача 19.49 страница 149

Цитата:

Докажите, что пространство $SO(4)$ гомеоморфно $S^3 \times SO(3)$

На странице 380 можно посмотреть доказательство, в котором гомеоморфизм организовывается с помощью кватернионов.
Разве это не означает, что такое расслоение тривиально? А как можно понять, почему при увеличении размерности расслоение перестаёт быть тривиальным? Какие книжки можно посмотреть?

Пардон, действительно тривиально. $SO(4)$ действительно гомеоморфно $S^3\times SO(3)$ как пространство (но не как группа!). Есть еще один исключительный случай, $SO(8)$, в котором оно тривиально. Существование таких исключительных гомеоморфизмов (как часто случается в математике) связано с исключительными алгебрами кватернионов и октонионов соответственно. Для доказательства того, что в остальных размерностях такого не происходит, нужно, думаю, посчитать когомологии $SO(n)$, см. любую книжку по алгебраической топологии.

[FFFF]

apriv
Спасибо большое!

[Munin]

apriv
FFFF
Спасибо большое! Про Хопфа я забыл.

[fancier]

Цитата:

Пардон, действительно тривиально. $SO(4)$ действительно гомеоморфно $S^3\times SO(3)$ как пространство (но не как группа!). Есть еще один исключительный случай, $SO(8)$, в котором оно тривиально. Существование таких исключительных гомеоморфизмов (как часто случается в математике) связано с исключительными алгебрами кватернионов и октонионов соответственно. Для доказательства того, что в остальных размерностях такого не происходит, нужно, думаю, посчитать когомологии $SO(n)$, см. любую книжку по алгебраической топологии.

Расслоение $SO(n)\rightarrow SO(n+1)\rightarrow S^n$ -- главное $SO(n)$-расслоение, с которым ассоциировано касательное расслоение к $S^n$, таким образом, оно тривиально т. и т.т. когда касательное расслоение тривиально, т.е. соответствующая сфера параллелизуема. Очевидно, четномерные сферы непараллелизуемы из-за ненулевой Эйлеровой характеристики. Параллелизуемость $S^{2k-1}$ равносильна существованию в $\pi_{4k-1}(S^{2k})$ элемента с нечетным инвариантом Хопфа. Существует теорема, что если $k\neq 1, 2, 4$, то в $\pi_{4k-1}(S^{2k})$ отсутствуют элементы с нечетным инвариантом Хопфа. Доказательство этого факта неэлементарно (либо с помощью операций Стинрода либо с помощью $K$-теории) -- см. например Фоменко-Фукс, Каруби, Хэтчер (учебник по $K$-теории), Мошер-Тангора,...

[lek]

fancier в сообщении #633581 писал(а):

Доказательство этого факта неэлементарно (либо с помощью операций Стинрода либо с помощью -теории) -- см. например Фоменко-Фукс, Каруби, Хэтчер (учебник по -теории), Мошер-Тангора,...

Я бы добавил сюда "Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия" М. Постникова (лекции 8 и 24-27)...