Подмножества из последовательности 2, 6, 12, 20, ...

[Ktina]

Дана последовательность $2, 6, 12, 20, 30, \dots , n(n+1), \dots$

1) (разминка перед боем) Доказать, что из множества всех элементов этой последовательности можно выбрать сколь угодно большое конечное подмножество, сумма элементов которого будет

а) квадратом

б) кубом

в) пятой степенью

г) седьмой степенью

д) девятой степенью

е) одиннадцатой степенью

натурального числа.

2) (исследовательская задача) Попытайтесь обобщить первый пункт до произвольных степеней с натуральным показателем (этого я уже сделать не смогла).

[temp03]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #564974 писал(а):

Дана последовательность $2, 6, 12, 20, 30, \dots , n(n+1), \dots$

а она милашка

[Ktina]

temp03 в сообщении #564983 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #564974 писал(а):

Дана последовательность $2, 6, 12, 20, 30, \dots , n(n+1), \dots$

а она милашка

(Оффтоп)

Убедительная просьба в дальнейшем посылать сообщения, подобные этому и вот этому, мне в личку (или вообще не посылать). Я, конечно, не ханжа, но у нас не эротический форум.

[hippie]

а)
Если удалось получить число $a^n$ (использовав $k$ слагаемых), то можно получить и число $(a^2)^n\ (=a^n+((a^n-1)(a^n))),$ используя $k+1$ слагаемое.
Таким образом, для решения задачи (a) достаточно предъявить по одному примеру 2-й, 3-й, 5-й, и т.д. степени:

$6+30=6^2;$
$2+6=2^3;$
$2+30=2^5;$
$6+12+110=2^7;$
$20+30+462=2^9;$
$12+56+1980=2^{11}.$

[temp03]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #565013 писал(а):

Убедительная просьба в дальнейшем посылать сообщения, подобные этому и вот этому, мне в личку (или вообще не посылать). Я, конечно, не ханжа, но у нас не эротический форум.

Ууууу... как всё плохо. Если слово "милашка" разрешено только на эротических форумах.... то я уж и не знаю.... монашка наверное

[Ktina]

hippie в сообщении #565037 писал(а):

а)
Если удалось получить число $a^n$ (использовав $k$ слагаемых), то можно получить и число $(a^2)^n\ (=a^n+((a^n-1)(a^n))),$ используя $k+1$ слагаемое.
Таким образом, для решения задачи (a) достаточно предъявить по одному примеру 2-й, 3-й, 5-й, и т.д. степени:

$6+30=6^2;$
$2+6=2^3;$
$2+30=2^5;$
$6+12+110=2^7;$
$20+30+462=2^9;$
$12+56+1980=2^{11}.$

Только для $2^9$ у меня было другое представление: $420+90+2$.

Теперь осталось доказать, что любая степень двойки (с нечётным натуральным показателем, превышающим единичку) представима в виде суммы попарно различных членов исходной последовательности. Но это трудновато.

-- 28.04.2012, 15:42 --

Для 13-ой, например, степени тоже элементарно: $2^{13}=8192=90\cdot 91+2$

[hippie]

Ktina в сообщении #565050 писал(а):

Теперь осталось доказать, что любая степень двойки (с нечётным натуральным показателем, превышающим единичку) представима в виде суммы попарно различных членов исходной последовательности. Но это трудновато.

Это не столько трудно, сколько долго.
Суммы, которые можно получить из попарно различных чисел множества {2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72} содержат все чётные числа от 68 до 172 включительно.
Длина этого промежутка больше 90, поэтому если добавить к этому множеству 90, то суммами будут получаться все чётные числа от 68 до 262 включительно.
Если добавить ещё 110, то суммами будут получаться все чётные числа от 68 до 372 включительно.
И т.д.

Таким образом любое чётное число, большее 66, является суммой нескольких (попарно различных) чисел исходной последовательности.

[Ktina]

hippie в сообщении #565058 писал(а):

Ktina в сообщении #565050 писал(а):

Теперь осталось доказать, что любая степень двойки (с нечётным натуральным показателем, превышающим единичку) представима в виде суммы попарно различных членов исходной последовательности. Но это трудновато.

Это не столько трудно, сколько долго.
Суммы, которые можно получить из попарно различных чисел множества {2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72} содержат все чётные числа от 68 до 172 включительно.
Длина этого промежутка больше 90, поэтому если добавить к этому множеству 90, то суммами будут получаться все чётные числа от 68 до 262 включительно.
Если добавить ещё 110, то суммами будут получаться все чётные числа от 68 до 372 включительно.
И т.д.

Таким образом любое чётное число, большее 66, является суммой нескольких (попарно различных) чисел исходной последовательности.

Спасибо!