помогите решить линейную алгебру!!!В ПЯТНИЦУ ЭКЗАМЕН ВОПРОС

[Natashenka495]

является ли система векторов а1, а2,а3 линейно не зависимой

(1) (4) (5)
а1(-2) ; а2 (2) ;а3 (-1)
(3) (0) (3)


РЕШИТЕ ПОЖАЛОСТА ВОПРОС ЖИЗНИ И СМЕРТИ

[Capella]

Линейно-зависимые, это когда все координаты у двух различных векторов отличаются на одну и ту-же константу относительно операции умножения. Это Вы можете проверить сами, например с помощью соотвествующей системы уравнений.

[RIP]

Capella
Вы привели критерий линейной зависимости двух векторов, в данном случае их 3.
На этот счет есть теорема
Вектора $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $\det A=0$, где $j$-й столбец матрицы $A$ равен $a_j$ ($1\leqslant j\leqslant n$).

[Capella]

RIP

Я привела правило в общем случае (обычно оно даётся для 2). Естественно надо будет рассмотреть для 3. Эту систему можно решать и как систему уравнений, где надо будет показать, что при переходе к ступенчатой форме, коэффициенты у двух векторов обнулятся.

[Kuzya]

Capella писал(а):

Линейно-зависимые, это когда все коэффициенты у двух различных векторов отличаются на одну и ту-же константу. .

Более безграмотной фразы не встречал еще

[Capella]

Векторы называются линейно-зависимыми, если выполняется слелующее равенство:

$ a_1 \cdot v_1 + ... + a_n \cdot v_n = 0, a_1, ..., a_n \ne 0 $

Далее рекомендую посмотреть, как можно и нужно складывать векторы.

Добавлено спустя 1 минуту 53 секунды:

$a_1, ..., a_n \in K$ (какое-то множество, например реельных чисел)

[Dan_Te]

Capella писал(а):

Векторы называются линейно-зависимыми, если выполняется слелующее равенство:

$ a_1 \cdot v_1 + ... + a_n \cdot v_n = 0, a_1, ..., a_n \ne 0 $

Некорректно записано либо неверно. Под последней записью обычно понимают "все $a_i$ отличны от нуля", а для линейной зависимости достаточно, если "какие-то $a_i$ отличны от нуля". Обычно в определениях пишут "где не все $a_i$ равны нулю".

Множество $K$ - это не совсем какое-то множество, а то самое поле, над которым живет рассматриваемое векторное пространство.

[Capella]

Dan_Te

Так в данном случае это и есть поле, т.е. множество, реельных чисел (см постановку задачи)
Из моей записи следует, что коэффициенты не равны нулю, но не означает что все (если вам всем так удобнее, то пожайлуста). Ваши все придерания мне уже надоели, честно говоря.

[незваный гость]

Capella, согласно принятым соглашениям читается именно как все $a_1,…, a_n \not = 0$. В математике, увы, «придирки» — большая редкость. А детали очень важны.

[Capella]

Хорошо, запишу вот так: для каких-то $a_k \ne 0, \phantom{0} k \in {1, ..., n}$ Надеюсь это всё?

[Someone]

... хотя бы одно из чисел $a_1,a_2,\dots,a_n$ не равно $0$.

[Capella]

Так 0 это та-же константа , поэтому пусть Kuzya объяснит, что я такого "безграмотного" написала. Тем более в контексте данного конкретного примера.

[Kuzya]

1) у векторов не коэффициенты, а координаты ( или компоненты)
2) отличаются на константу, например, две первообразные одной функции, а у пары линейно зависимых векторов КООРДИНАТы пропорциональны

[Capella]

Kuzya

Я поняла, что Вы имеете ввиду. Но для меня было настолько понятно, что эту константу нужно рассматривать относительно операции умножения, а не сложения, что я не обратила внимание на двусмысленность фразы.

[Kuzya]

Capella писал(а):

Kuzya

Я поняла, что Вы имеете ввиду. Но для меня было настолько понятно, что эту константу нужно рассматривать относительно операции умножения, а не сложения, что я не обратила внимание на двусмысленность фразы.

Для меня все тоже было понятно, но привычка исправлять "перлы" студентов не позволила мне удержаться от комментария