Интеграл

iXuta · 27/04/12 5

Цитата:

Если $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\frac {dx} {1+(\tg x)^\sqrt{2}} }= I$ , то $\frac{96I}{\pi}$ равно ...

Численно по крайней мере до 6 знаков после запятой интеграл совпадает с $\frac {\pi}{4}$
А возможно ли взять его аналитически? (как и предполагается в этом задании)

hippie · 18/01/12 933

Возможно.

Достаточно заметить, что $\int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}} = \int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg (\frac \pi 2 -x))^{\sqrt 2}}} = \int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {(\tg x)^{\sqrt 2} dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}} .$

Таким образом $\int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}} = \frac 12 \left(\int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}} + \int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {(\tg x)^{\sqrt 2} dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}}\right) = \frac 12 \int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {1+(\tg x)^{\sqrt 2}} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}}\, dx = \frac 12 \int\limits_0^{\frac \pi 2} {dx} = \frac \pi 4.$

miflin · 27/02/12 4237

Красиво! Там только небольшая опечатка в районе дополнительного угла.

hippie · 18/01/12 933

miflin в сообщении #564413 писал(а):

Там только небольшая опечатка в районе дополнительного угла.

Несколько раз перепроверил, и не нашёл ни одной очепятки!

miflin · 27/02/12 4237

hippie в сообщении #564551 писал(а):

Несколько раз перепроверил, и не нашёл ни одной очепятки!

Приношу извинения. Сказал впопыхах, скользнув по поверхности, -
померещился котангенс. На самом деле - равенство основано
на зеркальной симметрии, так я расшифровал для себя.

iXuta · 27/04/12 5

Цитата:

$\int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}} = \int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg (\frac \pi 2 -x))^{\sqrt 2}}}$

но ведь $\frac {1} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}$ не является тождественно равным $\frac {1} {1+(\tg (\frac \pi 2 -x))^{\sqrt 2}}$ на $(0;\frac{\pi}{2})$
Например, при $x=\frac{\pi}{6}$
${\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{3}}{3})^\sqrt{2}}} \neq \frac{1}{1+(\sqrt{3})^\sqrt{2}}$
или тут какие-то преобразования над всем интегралом? тогда вовсе непонятно
наверное всё таки имелся в виду котангенс

miflin · 27/02/12 4237

Я уже объяснял, что мне тоже вначале померещился котангенс,
а потом сказал о зеркальной симметрии.

Рассмотрите $\tg x$ и $\tg (\frac {\pi}{2} -x)$
не на совпадение в какой-то одной точке, а на совпадение площадей
под графиками на участке интегрирования.

iXuta · 27/04/12 5

Точно. Там одной только формулы приведения недостаточно.
Спасибо, hippie, miflin.

Padawan · 13/12/05 4683

Хм. Вместо $\sqrt 2$ с тем же успехом можно поставить любое число, выкладки от этого не изменятся. Получается, что $\int\limits_0^{\frac\pi 2}\frac{dx}{1+(\operatorname{tg }x)^\alpha}=\frac{\pi}{4}$ для любого числа $\alpha\in\mathbb R$

hippie · 18/01/12 933

Padawan в сообщении #564734 писал(а):

Получается, что $\int\limits_0^{\frac\pi 2}\frac{dx}{1+(\operatorname{tg }x)^\alpha}=\frac{\pi}{4}$ для любого числа $\alpha\in\mathbb R$

Даже больше. Вместо $(\tg x)^\alpha$ можно подставить любую функцию $f(x)$ , для которой (при $x\in(0;\ \frac \pi2)$ ) выполнено условие $f(\frac \pi2-x)=\frac 1{f(x)}.$

Например: $\int\limits_0^{\frac\pi 2}\frac{dx}{1+(\tg x)^{\sin 2x}}=\frac \pi4$ или $\int\limits_0^{\frac\pi 2}\frac{dx}{1+(\tg x)^{\sin x + \cos x}}=\frac \pi4.$