Интеграл

[iXuta]

Цитата:

Если $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\frac {dx} {1+(\tg x)^\sqrt{2}} }= I$, то $\frac{96I}{\pi}$ равно ...

Численно по крайней мере до 6 знаков после запятой интеграл совпадает с $\frac {\pi}{4}$
А возможно ли взять его аналитически? (как и предполагается в этом задании)

[hippie]

Возможно.

Достаточно заметить, что $\int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}} = \int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg (\frac \pi 2 -x))^{\sqrt 2}}} = \int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {(\tg x)^{\sqrt 2} dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}} .$

Таким образом $\int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}} = \frac 12 \left(\int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}} + \int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {(\tg x)^{\sqrt 2} dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}}\right) = \frac 12 \int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {1+(\tg x)^{\sqrt 2}} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}}\, dx = \frac 12 \int\limits_0^{\frac \pi 2} {dx} = \frac \pi 4.$

[miflin]

Красиво! Там только небольшая опечатка в районе дополнительного угла.

[hippie]

miflin в сообщении #564413 писал(а):

Там только небольшая опечатка в районе дополнительного угла.

Несколько раз перепроверил, и не нашёл ни одной очепятки!

[miflin]

hippie в сообщении #564551 писал(а):

Несколько раз перепроверил, и не нашёл ни одной очепятки!

Приношу извинения. Сказал впопыхах, скользнув по поверхности, -
померещился котангенс. На самом деле - равенство основано
на зеркальной симметрии, так я расшифровал для себя.

[iXuta]

Цитата:

$\int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}} = \int\limits_0^{\frac \pi 2} {\frac {dx} {1+(\tg (\frac \pi 2 -x))^{\sqrt 2}}}$

но ведь $\frac {1} {1+(\tg x)^{\sqrt 2}}$ не является тождественно равным $\frac {1} {1+(\tg (\frac \pi 2 -x))^{\sqrt 2}}$ на $(0;\frac{\pi}{2})$
Например, при $x=\frac{\pi}{6}$
${\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{3}}{3})^\sqrt{2}}} \neq \frac{1}{1+(\sqrt{3})^\sqrt{2}}$
или тут какие-то преобразования над всем интегралом? тогда вовсе непонятно
наверное всё таки имелся в виду котангенс

[miflin]

Я уже объяснял, что мне тоже вначале померещился котангенс,
а потом сказал о зеркальной симметрии.

Рассмотрите $\tg x$ и $\tg (\frac {\pi}{2} -x)$
не на совпадение в какой-то одной точке, а на совпадение площадей
под графиками на участке интегрирования.

[iXuta]

Точно. Там одной только формулы приведения недостаточно.
Спасибо, hippie, miflin.

[Padawan]

Хм. Вместо $\sqrt 2$ с тем же успехом можно поставить любое число, выкладки от этого не изменятся. Получается, что $\int\limits_0^{\frac\pi 2}\frac{dx}{1+(\operatorname{tg }x)^\alpha}=\frac{\pi}{4}$ для любого числа $\alpha\in\mathbb R$

[hippie]

Padawan в сообщении #564734 писал(а):

Получается, что $\int\limits_0^{\frac\pi 2}\frac{dx}{1+(\operatorname{tg }x)^\alpha}=\frac{\pi}{4}$ для любого числа $\alpha\in\mathbb R$

Даже больше. Вместо $(\tg x)^\alpha$ можно подставить любую функцию $f(x)$, для которой (при $x\in(0;\ \frac \pi2)$) выполнено условие $f(\frac \pi2-x)=\frac 1{f(x)}.$

Например: $\int\limits_0^{\frac\pi 2}\frac{dx}{1+(\tg x)^{\sin 2x}}=\frac \pi4$ или $\int\limits_0^{\frac\pi 2}\frac{dx}{1+(\tg x)^{\sin x + \cos x}}=\frac \pi4.$

[iXuta]

Круто!
Ну и пределы само собой не важны.
если $f(a+b-x)=\frac{1}{f(x)}$ при $x \in (a; b)$,
то $\int\limits_a^b \frac{dx}{1+f(x)}=\frac{1}{2}(b-a)$

[Edward_Tur]

Найти первообразную:

$$\int \frac {x^2dx}{(x\sin x+\cos x)^2}$$

Источник

[ewert]

$$=-\int\dfrac{x^2}{x\cos x}\,d\left(\dfrac1{x\sin x+\cos x}\right)=-\dfrac{x^2}{x\cos x}\cdot\dfrac1{x\sin x+\cos x}+\int\dfrac1{x\sin x+\cos x}\,d\left(\dfrac{x^2}{x\cos x}\right)=\;\ldots$$

[Edward_Tur]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... osx%29%5E2

[ewert]

Ну да. А что?...