Среди учащихся старших классов провели опрос

[larkova_alina]

Среди учащихся старших классов провели опрос: кто любит волейбол, а кто баскетбол. Оказалось, что 52 % любителей волейбола любят и баскетбол, а 65 % любителей баскетбола любят и волейбол. Зато 36 % всех опрошенных не любят ни волейбол, ни баскетбол. Сколько процентов опрошенных любят только одну из этих игр, но не любят другую? Каким при этом могло быть наименьшее число опрошенных?

$N$ - число опрошенных;
$x$ - любители волейбола;
$y$ - любители баскетбола.
а)
Требуется найти $\frac{0,64N-0,52x}{N}$.
$0,52x=0,65y$,
$x+y-0,52x=(1-0,36)N$
$\frac{0,52}{0,65}x+x-0,52x=0,65N$. Выражаем отсюда $\frac{x}{N}$:
$\frac{x}{N}=\frac{0,64\cdot 0,65}{0,52+0,65\cdot 0,48}=\frac{1}{2}.$
$\frac{0,64N-0,52x}{N}=0,64-0,52\cdot \frac{1}{2}=0,38 (38\%)$.

б)
$0,52x=0,65y \in \mathbb{N}$.
Наименьшее $x$ из этого условия равно $50$.
$0,52x=26$ и $y=\frac{26}{0,65}=40.$
Составляем пропорцию
$40+50 -- (100-36)\%$
$N -- 100\%$
$\Rightarrow N=\frac{100\cdot 90}{64}=140,625 \notin \mathbb{N}$.
То есть теперь надо перебирать все возможные $x$ и $y$?
Или можно как-то по другому?

[Евгений Машеров]

Обозначим x число любителей и волейбола, и баскетбола. X составляет 52% любителей баскетбола и 65% любителей волейбола, что позволяет выразить число и тех, и тех через х. Просуммировав два полученных числа, получим общее число увлекающихся тем и другим видами спорта, но при этом увлекающиеся обоими посчитаны дважды (что сделать, чтобы исправить эту ошибку?). Получив общее число спортсменов, вспомним, что 36% от общего числа опрошенных не увлекаются ни тем, ни тем (а сколько от опрошенных увлекаются хотя бы одним видом?). Выразим общее число через х, также выразим число увлекающихся только одним или другим видом. Поделим два полученных последних числа на выражение для общего количества (что случится с х?)
Получив доли каждой категории, оценим минимальное число опрошенных. Для этого переведём полученные доли из процентов в простые дроби и найдём из общий знаменатель.

[larkova_alina]

а)
Пусть $x$ - любители и волейбола, и баскетбола.
Тогда $\frac{x}{0,52}+\frac{x}{0,65}-x$ - любители по крайней мере одной из двух штучек, а
$\frac{x}{0,52}+\frac{x}{0,65}-2x$ - любители только одной из этих двух игр.
Составляем пропорцию:
$\frac{x}{0,52}+\frac{x}{0,65}-x$ -- $(100-36)\%$
$\frac{x}{0,52}+\frac{x}{0,65}-2x$ -- $y\%$
$\Rightarrow y=\frac{64x\left(\frac{1}{0,52}+\frac{1}{0,65}-2\right)}{x\left(\frac{1}{0,52}+\frac{1}{0,65}-1\right)}=38\%.$
б)
$\frac{38}{100}=\frac{19}{50}$; $\;\; \frac{36}{100}=\frac{9}{25}$; $\;\; \frac{26}{100}=\frac{13}{50}$.
$N=50$.
Однако еще нужно убедиться, что $\frac{x}{0,52},\;\; \frac{x}{0,65} \in \mathbb{N}$. Я тут права? Или можно не проверять?
$\frac{x}{0,52}=\frac{50\cdot 0,26}{0,52}=\frac{13}{0,52}=25 \in \mathbb{N}$,
$\frac{x}{0,65}=\frac{50\cdot 0,26}{0,65}=\frac{13}{0,65}=20 \in \mathbb{N}$.
В итоге $N=50.$

[Евгений Машеров]

Не лишний ли раз у Вас х вычтен?

[larkova_alina]

Евгений Машеров в сообщении #564611 писал(а):

Не лишний ли раз у Вас х вычтен?

1. $\frac{x}{0,52}+\frac{x}{0,65}$ - это число человек которые любят хотя бы одну игру. Но здесь число, дважды любящих учтено дважды. Строго говоря, это сумма тех кто любит хотя бы одну игру и тех, кто любит две игры одновременно.
2. $\frac{x}{0,52}+\frac{x}{0,65}-x$ - это число тех, кто любит хотя бы одну игру.
Из теории множеств: $m\left(A\cup B \right) = m\left(A\right)+m\left(A\right)-m\left(A\cap B\right)$.
3. $\frac{x}{0,52}+\frac{x}{0,65}-2x$ - число тех, кто любит ровно одну игру.
Из теории множеств:
$m\left(A\triangle B\right)=m\left((A\cup B)\diagdown (A \cap B)\right)=m\left(A\cup B\right)-m\left(A\cap B\right)=m\left(A\right)+m\left(A\right)-m\left(A\cap B\right)-m\left(A\cap B\right)=m\left(A\right)+m\left(A\right)-2m\left(A\cap B\right).$

[Евгений Машеров]

Тогда уточняю вопрос - из чего Вы полагаете, что 100%-36%=64% это число любящих ровно одну игру, а не число любящих хотя бы одну?

[larkova_alina]

Евгений Машеров в сообщении #564696 писал(а):

Тогда уточняю вопрос - из чего Вы полагаете, что 100%-36%=64% это число любящих ровно одну игру, а не число любящих хотя бы одну?

Я такого не предполагала.

[Евгений Машеров]

Тогда не совсем понял, зачем вычитать 2х.

[larkova_alina]

Евгений Машеров в сообщении #564797 писал(а):

Тогда не совсем понял, зачем вычитать 2х.

Потому что нас просят найти число (точнее их процент) тех, кто любит ровно одну игру.
А это число равно $\frac{x}{0,52}+\frac{x}{0,65}-2x$.
По моему тут все ясно.

[Евгений Машеров]

Да нет, ответ верный. Я лишь о том, что решение могло бы быть чуть короче.