Геометрическое броуновское движение

[sasha_vertreter]

Добрый день,

я пытаюсь моделировать геометрическое броуновское движение (цены акций) в Excel.

Мы знаем, что общая формула для изменения $\Delta S$ такая:

(1) $\Delta S = \mu S \Delta t + \sigma S \varepsilon \sqrt{\Delta t}$

Я знаю также, что решением это стохастического дифференциального уравнения будет такая функция:
$S_t = S_0 \exp ((\mu-\frac{\sigma^2}{2})\Delta t + \sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t})$

однако, помня, что $\Delta S = S_t - S_{t-1}$, я же могу (1) написать так:

$S_t = S_{t-1}+ \mu S_{t-1} \Delta t + \sigma S_{t-1} \varepsilon \sqrt{\Delta t}$ ?

я видел файлы, в которых моделировалось двумя методами, но цифры немного не совпадают, и я пытаюсь понять как перейти от одной к другой.

[sasha_vertreter]

мне тут пришла в голову мысль: ведь в финансовой математике мы пишем $dz$ для Винеровского процесса, когда имеем ввиду $\Delta z=\varepsilon \sqrt{\Delta t}$ и $\Delta t \to 0$. Значит точное аналитическое решение СДУ совпадет с выражением в конечных разностях при $\Delta t \to 0$?