2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Норма оперетора
Сообщение26.04.2012, 11:28 
$A:L_2[-1, 1] \to L_2[-1, 1].
(Ax)(t) = $$\int_{-t}^{t}x(s)ds$$.$
Вопрос первый. Верно ли что:
$
(A^*x)(t) = ($$\int_{-1}^{-t}x(s)ds$$ + $$\int_{t}^{1}x(s)ds$$).$
Второй и основной вопрос, как найти норму?

 
 
 
 Re: Норма оперетора
Сообщение28.04.2012, 07:56 
shtudent в сообщении #564109 писал(а):
Верно ли что:
$ (A^*x)(t) = (\int_{-1}^{-t}x(s)ds + \int_{t}^{1}x(s)ds).$

Не совсем. Посмотрите внимательнее на ядро исходного оператора.

shtudent в сообщении #564109 писал(а):
как найти норму?

Как корень из нормы $A\,A^*$.

Заметно облегчает жизнь то, что оператор $A$ обнуляет все нечётные функции и переводит любую функцию в нечётную. Оператор $A^*$ -- наоборот: обнуляет все чётные функции и переводит любую функцию в чётную. Поэтому дело сводится к норме просто оператора интегрирования $ (Bx)(t) = \int\limits_0^{t}x(s)ds$, действующего в $L_2[0;1]$. А оператор, обратный к $B\,B^*$ -- это соответствующий оператор Штурма-Лиувилля.

 
 
 
 Re: Норма оперетора
Сообщение16.05.2012, 23:29 
Не понимаю, как связаны норма оператора интегрирования $B = $\int_{0}^{t}x(s)ds$$ и наша искомая норма?

 
 
 
 Re: Норма оперетора
Сообщение17.05.2012, 07:58 
Достаточно подсчитывать норму $A\,A^*$ на только нечётных функциях. А тогда всё сводится к действию только на функциях с носителем из правого полуотрезка.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group