Норма оперетора

[shtudent]

$A:L_2[-1, 1] \to L_2[-1, 1]. (Ax)(t) = $$\int_{-t}^{t}x(s)ds$$.$
Вопрос первый. Верно ли что:
$ (A^*x)(t) = ($$\int_{-1}^{-t}x(s)ds$$ + $$\int_{t}^{1}x(s)ds$$).$
Второй и основной вопрос, как найти норму?

[ewert]

shtudent в сообщении #564109 писал(а):

Верно ли что:
$ (A^*x)(t) = (\int_{-1}^{-t}x(s)ds + \int_{t}^{1}x(s)ds).$

Не совсем. Посмотрите внимательнее на ядро исходного оператора.

shtudent в сообщении #564109 писал(а):

как найти норму?

Как корень из нормы $A\,A^*$.

Заметно облегчает жизнь то, что оператор $A$ обнуляет все нечётные функции и переводит любую функцию в нечётную. Оператор $A^*$ -- наоборот: обнуляет все чётные функции и переводит любую функцию в чётную. Поэтому дело сводится к норме просто оператора интегрирования $ (Bx)(t) = \int\limits_0^{t}x(s)ds$, действующего в $L_2[0;1]$. А оператор, обратный к $B\,B^*$ -- это соответствующий оператор Штурма-Лиувилля.

[shtudent]

Не понимаю, как связаны норма оператора интегрирования $B = $\int_{0}^{t}x(s)ds$$ и наша искомая норма?

[ewert]

Достаточно подсчитывать норму $A\,A^*$ на только нечётных функциях. А тогда всё сводится к действию только на функциях с носителем из правого полуотрезка.